欧拉的天才巧证,我们可以挑战他吗?

nnd

当能够分解时，2^n+1分解的两个数似乎有以下规律:
1. 两个数二进制的最后几位相同，是X000……01，即1前面有相同的n个零（n>=0）
2.从较小数的最高位起，紧接着是相同的m个零
3.在1，2之间的位上，两个数是反码关系所有的.

规律1是我已经证明了，谁有兴趣接着证明2，3？

nnd

3.在1，2之间的位上，两个数是反码关系.

111101001100001111000110011100    1101000    100000001  n=64
                                                                   100    0010111     100000001

1100110001111  0  1   10000001   n=32
                                  1  0   10000001

zuijianqiugen

已有高人用欧拉同样的方法分解出 2^64+1
参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 622014219114926812/

数学星空

我把楼上的分解方案重新写一遍，供大家品味：

设\(a=2^8=256, b=\frac{274177-1}{256}=1071\)

且\(x=\sqrt{843(ab+1)-2}=4(ab+1)-(b^2-a^2)=15203\)

易有\(b^2-a^2=4(ab+1)-x\)

则\(a^4=(b^2-a^2)^2+2a^2b^2-b^4=((4ab+1)-x)^2+2a^2b^2-b^4\)

\(2^{2^6}+1=2^{64}+1=a^8+1=a^4 a^4 +1\)

\(=a^4((4ab+1)-x)^2+2a^2b^2-b^4)+1\)

\(=(-8a^5b-8a^4)x+18a^6b^2-a^4b^4+875a^5b+857a^4+1\)

\(=(ab+1)(18a^5b-a^3b^3-8a^4x+857a^4+a^2b^2-ab+1)\)

\(=(ab+1)(-8a^6-14a^5b+8a^4b^2-a^3b^3+825a^4+a^2b^2-ab+1)\)

\(=274177*67280421310721\)

有一点楼上的没有详细说明：\(x=\sqrt{843(ab+1)-2}=4(ab+1)-(b^2-a^2)=15203\) 的来历，总感觉不太自然

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-4-13 20:16
我把楼上的分解方案重新写一遍，供大家品味：

设\(a=2^8=256, b=\frac{274177-1}{256}=1071\)

感谢版主的嘉奖！
本人开始也感觉到那个带有根号的无理等式不太自然，这是按照欧拉分解方法凭猜想试验出来的一个等式。花了几个月的功夫想找出一个不带根号的有理等式，但没有成功。

zuijianqiugen

数学星空，您好！你既然了解欧拉的天才巧证，那可能也了解欧拉对n=3的费马定理之证明。能否介绍一下？