函数方程

mathe

http://tieba.baidu.com/f?kz=619869803
f(x)在R上连续，且f(x)+f(2x)+f(3x)=0恒成立,求证或者否定：$f(x)-=0$.
更加一般的对于一般的实数a,b,$1+a+b!=0$,对于哪一些a,b你能够构造函数f(x)满足$f(x)+f(ax)+f(bx)=0$呢?

mathe

取s= 0.9405921833151716514548317427,t=8.230709548417316800849108148
$f(x)={(0,x==0),(cos(t*log(|x|))*|x|^s,x!=0):}$

mathe

(15:49) gp > t=%37
%40 = 8.230709548417316800849108148
(15:52) gp > s=%39
%41 = 0.9405921833151716514548317427
(15:52) gp > f(x)=cos(t*log(|x|))*|x|^s
  ***   unexpected character: f(x)=cos(t*log(|x|))*|x|^s
                                             ^-----------
(15:52) gp > f(x)=cos(t*log(abs(x)))*abs(x)^s
(15:52) gp > abs(-1)
%42 = 1
(15:52) gp > f(x)=cos(t*log(abs(x)))*abs(x)^s
(15:52) gp > f(1)+f(2)+f(3)
%43 = 5.048709794 E-28
(15:52) gp > g(x)=f(x)+f(2*x)+f(3*x)
(15:53) gp > g(1)
%44 = 5.048709794 E-28
(15:53) gp > g(1.5)
%45 = -8.07793567 E-28
(15:53) gp > g(2.5)
%46 = 1.918509721 E-27
(15:53) gp >

mathe

现在讨论以上上面的解是如何找到的.
对于一般情况$f(x)+f(A*x)+f(B*x)=0$,我们只寻找f(x)是偶函数,那么就总可以设A,B为正数
于是可以定义$g(x)=f(exp(x))$,于是$g(x)+g(x+ln(A))+g(x+ln(B))=0$
记$a=ln(A),b=ln(B)$,于是我们只需要找到函数g(x)使得$g(x)+g(x+a)+g(x+b)=0$,而且
$lim_{x->-infty}g(x)$存在
如果我们假设
$g(x)=r^x*sin(t*x)$
那么可以得到
$r^x*(1+r^a*cos(a*t)+r^b*cos(b*t))*sin(x*t)+r^x*(r^a*sin(a*t)+r^b*sin(b*t))*cos(x*t)=0$
于是我们只要能够找到实数r,t使得
${(1+r^a*cos(a*t)+r^b*cos(b*t)=0),(r^a*sin(a*t)+r^b*sin(b*t)=0):}$
就可以了.而同时为了保证$g(-infty)$存在,要求$r>1$
而上面的解就是我通过数值求解得到的(当然实际上可以找到无穷组解)

mathe

取s= 0.9405921833151716514548317427,t=8.230709548417316800849108148
$f(x)={(0,x==0),(cos(t*log(|x|))*|x|^s,x!=0):}$
mathe 发表于 2009-8-2 15:45

试着用广义牛顿迭代法来提高s和t的精度到1000位
s=
%32 = 0.940592183315171651454831742968332754834640926244101667797802216328259454
00002427890281167263186709026391034240892462219234562742911740048285721664048102
72681532384599144103214624672516805948772377548917735843323512567887843630114067
77876079420466044006211872463493978976235785385150912382838994259564775788284401
95739277758087805434378118133047801730222703752406635803197060531052487902716285
48640429284125669170335000002572385890462790651218758324733249357737738031738877
23790238245833162504488784509293027695492127749659729869002788528379428575554399
04015517967125369667052658084662823721932104029744690101894653239592674717946479
34991501748960885347984426009226380123452993092153044814074515516019174036847781
22147953540771855834553844457424654766192838616686015951641249106497973179995677
06535672376775293554627091884209464202252270346766259744998645152706143177744829
11996204388400232724055606637380278530245808183447651532444871131975297791737111
308754162922048777995332952021917778812291383031
t=
%31 = 8.230709548417316800849108148266363035367419125285490120983078327639419834
53666317055909802812757728142292562696900845706210752737288281350235181592749749
11259825886264654874802790768338555487318915378012997459651719147127057170687279
20031665871300134102473848881826751288259973646561639709231901597651250647301062
25138879686993545633701465501755491633220690137124342040401832168718441377941707
68715051548922955046742966418575724081094612803033863941449218416962920890880301
41841135807974827709847284498459930593176644193914407398625222678839567750450835
67647886860906996470391593620512110738638025066941644855483787416165431134298222
88118006907224176615235312331443327206152800094359702441542193142978279321851713
65540020862334256282202609301567255744209619395812338670437482347859709658466821
60383334816624734458853339575070284015920087703411631016308641329029758206266405
26245050647076164196348127450773566106561078694544764902855988703967041568666924
46021544685047703345450620144147986279215968307

mathe

现在我们看一看能否找到满足条件的所有解.
我们已经知道只要找到所有满足$g(x)+g(x+a)+g(x+b)=0$,而且$lim_{x->-infty}g(x)$存在的连续函数g(x)就可以了.由于$g(-infty)$存在,我们知道g(x)在区间$(-infty,0]$上有界.为此我们可以计算g(-x)的Lapalace变换
$G(s)=int_0^{infty}exp(-sx)g(-x)dx$
显然上面的定义在$Re(s)>0$时必然有定义.
于是$0-=int_0^{infty}exp(-sx)(g(-x)+g(-x+a)+g(-x+b))dx=G(s)(1+exp(-sa)+exp(-sb))+int_0^aexp(-sx)g(-x+a)dx+int_0^bexp(-sx)g(-x+b)dx$
于是我们可以假设$K(s)=int_0^aexp(-sx)g(-x+a)dx+int_0^bexp(-sx)g(-x+b)dx$在全平面解析,是整函数
于是$G(s)={-K(s)}/{1+exp(-sa)+exp(-sb)}$
于是对于g(x),我们只需要计算G(s)的Laplace逆变换就可以了.而这个由G(s)在复平面上的极点决定的.
也就是我们需要找到方程$1+exp(-sa)+exp(-sb)=0$的所有复数解,假设这个方程的所有解集为S,而对于每个$s in S$,函数G(s)在s的留数为$R(s)$,那么我们得到
$g(x)=\sum_{s in S} R(s)*exp(-sx)$
所以我们知道只要对于S中每个数,我们只要适当的选择R(s)使得上面求和一致收敛,就可以找到g(x)的一个解
而这个也应该时通解的表达形式

591pp

题目不好， 采用了三点和为0， 一种很简单的构造方法，就是取这三点函数值为0即可，其他点的函数值，用手随意画，只要不断点，连续条件太弱。如果改为复数域下解析，题目也许有点意义。

数学星空

你理解有误，主要难度就是对任何的实数x ，均有且f(x)+f(2x)+f(3x)=0恒成立，
而不仅仅是＂取这三点函数值为0即可，其他点的函数值，用手随意画，只要不断点＂

mathe

很简单倒也不致于,这个构造反例还是需要一定的数学分析的

shshsh_0510

2#的函数在x=0连续吗？