不定方程x^2+y^2+z^2=3^n的解数

hujunhua

一、记`0<x≤y≤z`的解数为 `t_n`，用 wolframalpha 初算了前11项如下：
1，1，2，3，4，8，9，22，23，63，64
在数列网站上搜索了一下，查无此列。
在前11项中有\[
t_{2n+1}=t_{2n}+1
\]猜想向后也成立。若成立，数论证明应该不难。谁来反例或秒证！

二、追加定义本原解：`x, y, z `不被 3 整除者，并记解数为`T_n`。
容易证明，`x, y, z`必定含有同样多的因子3，所以上述定义是个良定义。
显然   `T_n=t_n-t_{n-2}`，故若`t_{2n+1}=t_{2n}+1`，则\[
T_{2n+1}=T_{2n}
\]`T_n`的前11项为：1, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 14, 14, 41, 41.

wayne

暴力计算了前20项:$1, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 22, 23, 63, 64, 185, 186, 550, 551, 1644, 1645, 4925, 4926, 14767$ 交叉验证了递推的正确性
然后目测: $t_{2n} = 1/4 (3^n+2 n-1)$
然后追加目测: $T_{2n} = 1/2 (3^{n-1}+1)$

mathe

不错的结论，可以提交oeis

hujunhua

mathe 发表于 2019-8-16 08:50
不错的结论，可以提交oeis

`T_{2n}`已经有了，可以给它加一条解释。

chyanog

1. seq=Table[Length@Solve[{x^2+y^2+z^2==3^n,0<x<=y<=z},{x,y,z},Integers],{n,10}]
   
2. expr=FullSimplify[FindSequenceFunction[seq,n],Mod[n,2]==#]&/@{0,1}
   
3. Table[If[EvenQ[n],##]&@@expr,{n,10}]

复制代码

Output：

{1, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 22, 23, 63}

\(\begin{array}{cc}
\  
\begin{array}{cc}
\frac{1}{4} \left(n+3^{n/2}-1\right) & (n \bmod 2)=0 \\
\frac{1}{4} \left(n+3^{\frac{n-1}{2}}+2\right) & (n \bmod 2)=1 \\
\end{array}
\\
\end{array}\)

王守恩

chyanog 发表于 2019-8-16 10:20
Output：

{1, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 22, 23, 63}

\(\D a(n)=\frac{2×3^{(\cos(n\pi)+2n-1)/4}-3\cos(n\pi)+2n+1}{8}\)

hujunhua

没人开证明之路？感觉这个问题的证明会是代数成分多，数论成分少。
在外有点小忙，拿个平板也不方便，先抛块砖吧，希望引得珠玉纷纷。
我对直接的构造性证明不太看好，寄望于从 n 的解生成 n+1, n+2的解。

从 n=2 的无符号解 (1, 2, 2) 可以得到带符号和交换坐标的解24个，都处于球面\[
x^2+y^2+z^2=9
\]上。这24个点可分为 4 组，每组 6 点，处于一个以原点为中心的正八面体顶点。
正八面体的6个顶点分为3对对径点。若每对对径点舍一取一，所得 3 点与原点连线构成一个三垂坐标架。如此可得 4 个三垂坐标架，对应的正交矩阵如下：\[
M_1=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}，M_2=\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&1&2\\-2&2&1\end{pmatrix}\\M_3=\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}，
M_4=\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&-1&2\\2&2&-1\end{pmatrix}
\]我们将对径点二选一使得每个正交矩阵 `\frac13M_i` 都是对称矩阵（这不重要），满足 `M_i^2=9I`.  所以线性坐标变换 \[
(x', y', z')^t=M_i(x,y,z)^t
\]使得\[
x'^2+y'^2+z'^2=9(x^2+y^2+z^2)
\]故\[
x^2+y^2+z^2=3^n \longrightarrow x'^2+y'^2+z'^2=3^{n+2}
\]比如\[
M_1(1, 1, 1)^t=(5, 1, 1)^t\\
M_2(1, 1, 1)^t=(1, 5, 1)^t\\
M_3(1, 1, 1)^t=(1, 1, 5)^t\\
M_4(1, 1, 1)^t=(3, 3, 3)^t\]

mathe

不错，下一步应该证明对于n>2,任意一个解可以写成上面的形式，这个不难，就是有点繁琐
比如从胡子上面的例子中，我们可以发现
$1/3M_4[(9a+1),(9b+1),(9c+1)]=[(-3a + 6b + 6c + 1), (6a -3b + 6c + 1), (6a + 6b -3c + 1)]$
其中，每个+1还可以改为-1，但是对应的,$M_4$矩阵对应的列也要全部变号
类似还可以构造
$1/3 M_1 [(9a-4),(9b+1),(9c+1)] =[(3a + 6b + 6c), (6a + 3b -6c - 3), (6a -6b + 3c - 3)]$
等

lsr314

https://mathoverflow.net/questio ... um-of-three-squares

lsr314

用$r_3(n)$表示$x^2+y^2+z^2=n$的整数解的个数（正负号及顺序不同视为不同的解），使用链接里的公式，可以得出：
当$n=2k$时，$r_3(3^n)=4*3^(k+1)-6;$
当$n=2k+1$时，$r_3(3^n)=4*3^(k+1)-4.$
并且，方程$x^2+2y^2=3^n$的解的个数是$2n+2$（正负号及顺序不同视为不同的解）.
方程$x^2=3^n$和 $3x^2=3^n$中刚好有一个有解，且只有2个解（正负号不同视为不同的解）.
综合以上结果即可计算出方程$x^2+y^2+z^2=3^n$不计正负号及顺序的解数。