已知a+b=1，求ab(a^4+b^4)的最大值

mathematica

又是一个对称表达式在对称约束下，不在对称轴上取得极值。
除了下图中求导的办法和逆凑的办法，还有啥办法？

资料来源
如何用十分中二的方式解数学题？ - 譞譞的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/281900024/answer/791745477

mathe

设`ab=t,a^2+b^2=1-2t,a^4+b^4=(1-2t)^2-2t^2`
后面变成一个三次函数的极值问题，在不知道答案的情况下最好还是微积分求极值。知道答案还是可以用图中类似方法凑

葡萄糖

好像还可以得到类似的不等式：
\[ xy\left(x^4+y^4\right)\leqslant \frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\left(x^2+y^2\right)^3 \]

hejoseph

你以为那个因式分解那么容易得到啊？不是机器计算怕是很费事的。

令 $a=1/2-t$，$b=1/2+t$，则
\[
ab\left(a^4+b^4\right)=-2\left(t^2+\frac{5}{12}\right)^3+\frac{5}{3}\left(t^2+\frac{5}{12}\right)-\frac{14}{27}
\]
要求上式的最大值，显然只需要求
\[
-2\left(t^2+\frac{5}{12}\right)^3+\frac{5}{3}\left(t^2+\frac{5}{12}\right)\geqslant 0
\]
时的情形，此时
\begin{align*}
-2\left(t^2+\frac{5}{12}\right)^3+\frac{5}{3}\left(t^2+\frac{5}{12}\right)&=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(t^2+\frac{5}{12}\right)^2\cdot\left(-2\left(t^2+\frac{5}{12}\right)^2+\frac{5}{3}\right)^2}\\
&\leqslant\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{4\left(t^2+5/12\right)^2+2\left(-2\left(t^2+5/12\right)^2+5/3\right)}{3}\right)^3}\\
&=\frac{5\sqrt{10}}{27}
\end{align*}
当号当且仅当下面等式成立时取得：
\[
4\left(t^2+\frac{5}{12}\right)^2=-2\left(t^2+\frac{5}{12}\right)^2+\frac{5}{3}
\]
即
\[
t=\pm\frac{\sqrt{6\sqrt{10}-15}}{6}
\]
所以
\[
-2\left(t^2+\frac{5}{12}\right)^3+\frac{5}{3}\left(t^2+\frac{5}{12}\right)-\frac{14}{27}\leqslant\frac{5\sqrt{10}-14}{27}
\]
当且仅当 $t=\pm\sqrt{6\sqrt{10}-15}/6$ 时取得等号。

mathematica

hejoseph 发表于 2019-8-17 12:56
你以为那个因式分解那么容易得到啊？不是机器计算怕是很费事的。

令 $a=1/2-t$，$b=1/2+t$，则

帮你化简一下
\[a b \left(a^4+b^4\right)\text{/.}\, \left\{a\to \sqrt{t-\frac{5}{12}}+\frac{1}{2},b\to \frac{1}{2}-\sqrt{t-\frac{5}{12}}\right\}\]
然后化简得到
\[-2 t^3+\frac{5 t}{3}-\frac{14}{27}\]
此处\[t>=\frac{5}{12}\]

mathematica

mathematica 发表于 2019-8-17 14:05
帮你化简一下
\[a b \left(a^4+b^4\right)\text{/.}\, \left\{a\to \sqrt{t-\frac{5}{12}}+\frac{1}{2}, ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. ans=Maximize[{a*b*(a^4+b^4),a+b==1},{a,b}]//FullSimplify
   

复制代码

\[\left\{\frac{1}{27} \left(5 \sqrt{10}-14\right),\left\{a\to \frac{1}{6} \left(\sqrt{6 \sqrt{10}-15}+3\right),b\to \frac{1}{6} \left(3-\sqrt{6 \sqrt{10}-15}\right)\right\}\right\}\]

数值化

{0.067088455586736913333,
{
a->0.83223426979777872096,
b->0.16776573020222127904
}}

王守恩

在a+b=1的条件下，当n>4时，\(ab(a^n+b^n)\) 的最大值
在\(a=\frac1{n+2}, b=\frac{n+1}{n+2}\) 时取得。

hujunhua

设` a=\cos^2(\theta), b=\sin^2(\theta)`, 代入得\[\sin^2\theta\cos^2\theta(\sin^8\theta+\cos^8\theta)\]我可没打算对  `\theta` 去求导，画个极坐标图而已。

hujunhua

在`a+b=1`时，\[\begin{split}1&=(a+b)^n=\sum_{r=0}^n{C_n^ra^{n-r}b^r}\\&=(a^n+b^n)+C_n^ka^kb^k+\sum_{r=1}^{k-1}C_n^r(a^{n-r}b^r+a^rb^{n-r})\\&\qquad(k=\lfloor{n/2}\rfloor)\end{split}\]
易知，`\max (a^n+b^n)=1`，驻点在(1,0), `\max(a^kb^k)=1/4^k` , 驻点在 `\left(\frac12,\frac12\right)`.
问题： 1、`\D\lim_{n\to\infty}\sum_{r=1}^{n-1}\max C_n^r(a^{n-r}b^r+a^rb^{n-r})<\infty?`
          2、画图显示上述和式第一项 `\D\lim_{n\to\infty}\max nab(a^{n-2}+b^{n-2})\approx\frac38 `, 请求更精确的值。
          3、讨论上述和式中每一项的敛散情况。

王守恩

王守恩 发表于 2020-4-4 14:05
在 a+b=1 的条件下，当 n>4 时，\(ab(a^n+b^n)\) 的最大值
在\(a=\frac1{n+2}, b=\frac{n+1}{n+2}\) 时取得 ...

在 a+b=1 的条件下，当 n≥3 时，求：\(ab(a^n+b^n)\) 的最大值

一般地，当 \(a=\frac{1}{n+2},b=\frac{n+1}{n+2}\) 时，最大值 \(\D\approx\frac{((n+1)^n+1)(n+1)}{(n+2)^{n+2}}\)

瞎猫撞上死老鼠了？求助：\(\D\frac{1}{e(n+2)}<\) 最大值 \(\D<\frac{1}{e(n+1)}\)