已知a+b=1，求ab(a^4+b^4)的最大值

hujunhua

取n=1000000时的计算结果
`C_n^r\max(a^{n-r}b^r+a^rb^{n-r})`在r=1, 2, ..., 20的结果
{0.36788, 0.270671, 0.224042, 0.195367, 0.175468, 0.160624, 0.149003, \
0.139587, 0.131756, 0.125111, 0.119379, 0.114369, 0.109941, 0.10599, \
0.102437, 0.0992183, 0.0962854, 0.0935982, 0.091124, 0.0888362}

这前20位的总和为2.96069

王守恩

王守恩 发表于 2020-4-20 14:13
在 a+b=1 的条件下，当 n≥3 时，求：\(ab(a^n+b^n)\) 的最大值

一般地，当 \(a=\frac{1}{n+2},b=\fra ...

瞎猫撞上死老鼠了？求助：\(\D\frac{1}{e(n+2)}\) < 最大值 < \(\D\frac{1}{e(n+1)}\)

嗨！运气好！瞎猫还真是撞上死老鼠了。
我们恒有：(两边很容易算，中间就不好算了)

     \(\D\frac{1}{n+2}<\frac{((n+1)^n+1)(n+1)^n}{(n+2)^{n+1}\ n^n}<\frac{1}{n+1}\)

化简成这样，是可以的。
     \(\D\frac{1}{n+2}<\frac{(n+1)^{2n}}{(n+2)^{n+1}\ n^n}<\frac{1}{n+1}\)

化简成这样，就不可以了。
     \(\D\frac{1}{n+1}<\frac{n^{2n}}{(n+1)^{n+1}\ (n-1)^n}<\frac{1}{n}\)

hujunhua

mathe 发表于 2019-8-17 10:21
设`ab=t,a^2+b^2=1-2t,a^4+b^4=(1-2t)^2-2t^2`
后面变成一个三次函数的极值问题，在不知道答案的情况下最 ...

至此得到  `\D ab(a^4+b^4)=t(1-4t+2t^2)=2t(t_1-t)(t_2-t),t_1=1+\frac{\sqrt2}2,t_2=1-\frac{\sqrt2}2`.
没学过导数的，用待定系数法也可以求得最大值。
\[\begin{split}2t(t_1-t)(t_2-t)&=\frac{2t\cdot u(t_1-t)\cdot v(t_2-t)}{uv}\\&\le\frac1{uv}\left(\frac{2t+u(t_1-t)+v(t_2-t)}3\right)^3\\&=\frac1{uv}\left(\frac{ut_1+vt_2}3\right)^3\end{split}\]就是要寻找 2 个适当的系数 `u,v`， 使得\[\begin{cases}2t=u(t_1-t)=v(t_2-t),\\2-u-v=0\end{cases}\]由解方程得 `u,v,t`,代入即可得到最大值。

dlpg070

王守恩 发表于 2020-4-21 12:52
瞎猫撞上死老鼠了？求助：\(\D\frac{1}{e(n+2)}\) < 最大值 < \(\D\frac{1}{e(n+1)}\)

嗨！运气好！瞎 ...

函数ab(a^n+b^n)曲线组及最大值点分布
仿hujunhua 设:
a= Sin[θ]^2
b= Cos[θ]^2
ab(a^n+b^n)= Cos[θ]^2 Sin[θ]^2 (Cos[θ]^(2*n) + Sin[θ]^(2*n))
作极坐标图:最大值20200422.png

图形显示
该曲线组实际演示的是函数ab(a^n+b^n)值与a/b的关系
r对应函数值,θ对应a/b
1: 半部a>b,下半部 a<b ,只显示a<b对应的最大值
2: 函数曲线形状大体不随n变
3: n增加时,最大值减小
4: n增加时,最大值点对应的 a/b 减小
5: n增加时,王守恩的近似值快速逼近最大值精确值(另画曲线演示)
  王守恩7# "="改为 10# "≈", 王守恩猜想成立,不是"死老鼠",而是""狗头金" , 希望给出证明
估值与精确值(只取18位)差别太小,列表如下,不再演示
n         max                   maxWSE                max/maxWSE
4   0.0670884555867369133        0.0670867626886145405        1.00002523445840173
5   0.0566600788198038321        0.0566600651089257027        1.00000024198486364
6   0.0490874052777516707        0.0490874052047729492        1.00000000148670970
7   0.0433049476639970510        0.0433049476637256529        1.00000000000626714
8   0.0387420498000007434        0.0387420498000000000        1.00000000000001919
9   0.0350493899831886413        0.0350493899831886397        1.00000000000000004
10  0.0319996025479734593        0.0319996025479734593        1.00000000000000000
11        0.0294382082059696675        0.0294382082059696675        1.00000000000000000
12        0.0272565623246056998        0.0272565623246056998        1.00000000000000000
13        0.0253760261781531880        0.0253760261781531880        1.00000000000000000

最大值20200422.png

mathematica

拉格朗日乘子法!

1. Clear["Global`*"];
   
2. f=a*b*(a^4+b^4)+x*(a+b-1)
   
3. fa=D[f,a]
   
4. fb=D[f,b]
   
5. fx=D[f,x]
   
6. ans=Solve[{fa==0,fb==0,fx==0},{a,b,x}]//FullSimplify
   
7. Grid[ans]
   
8. N[%,10]
   
9. (f/.ans)//FullSimplify
   
10. N[%,10]
    

复制代码

求解得到点:
\[\begin{array}{ccc}
a\to \frac{1}{2} & b\to \frac{1}{2} & x\to -\frac{3}{16} \\
a\to \frac{1}{6} \left(3-\sqrt{6 \sqrt{10}-15}\right) & b\to \frac{1}{6} \left(\sqrt{6 \sqrt{10}-15}+3\right) & x\to \frac{2}{9} \left(14-5 \sqrt{10}\right) \\
a\to \frac{1}{6} \left(\sqrt{6 \sqrt{10}-15}+3\right) & b\to \frac{1}{6} \left(3-\sqrt{6 \sqrt{10}-15}\right) & x\to \frac{2}{9} \left(14-5 \sqrt{10}\right) \\
a\to \frac{1}{6} \left(3-i \sqrt{6 \sqrt{10}+15}\right) & b\to \frac{1}{6} \left(3+i \sqrt{6 \sqrt{10}+15}\right) & x\to \frac{2}{9} \left(5 \sqrt{10}+14\right) \\
a\to \frac{1}{6} \left(3+i \sqrt{6 \sqrt{10}+15}\right) & b\to \frac{1}{6} \left(3-i \sqrt{6 \sqrt{10}+15}\right) & x\to \frac{2}{9} \left(5 \sqrt{10}+14\right) \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{ccc}
a\to 0.5000000000 & b\to 0.5000000000 & x\to -0.1875000000 \\
a\to 0.1677657302 & b\to 0.8322342698 & x\to -0.4025307335 \\
a\to 0.8322342698 & b\to 0.1677657302 & x\to -0.4025307335 \\
a\to 0.5000000000-0.9714488887 i & b\to 0.5000000000+0.9714488887 i & x\to 6.624752956 \\
a\to 0.5000000000+0.9714488887 i & b\to 0.5000000000-0.9714488887 i & x\to 6.624752956 \\
\end{array}\]

目标函数的值依次是
\[\left\{\frac{1}{32},\frac{1}{27} \left(5 \sqrt{10}-14\right),\frac{1}{27} \left(5 \sqrt{10}-14\right),\frac{1}{27} \left(-5 \sqrt{10}-14\right),\frac{1}{27} \left(-5 \sqrt{10}-14\right)\right\}\]

数值化是
\[\{0.03125000000,0.06708845559,0.06708845559,-1.104125493,-1.104125493\}\]

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-4-22 14:25
函数ab(a^n+b^n)曲线组及最大值点分布
仿hujunhua 设:
a= Sin[θ]^2

由图显然:
对于给定的n ,函数有3个极值:2个极大值,1个极小值(a=b=0.5,不变)