一道关于方程根中点范围的问题

kastin

网络上流传的一道老师和学生热烈讨论的问题，据说是一道高中题。
已知方程 `x-\ln x=m\;(m\in \RR)` 有两不等根 `x_1,x_2`，求证：`x_1+x_2\leqslant m+\sqrt{m}`.

问：是否可以进一步精确给出 `x_1+x_2` 的取值范围？

破题儿第一遭：题设有两个不同实根，已暗含 m > 1.

mathe

m充分接近1时应该是错的

mathe

记$x_1=1-r_1,x_2=1+r_2,m=1+s^2/2$, 于是对于$0\lt r_2\lt1$,可以有泰勒展开$s^2=r_1^2+2(r_1^3/3+r_1^4/4+r_1^5/5+....)=r_2^2-2(r_2^3/3-r_2^4/4+r_2^5/5-...)$
所以必然有$r_2\gt s\gt r_1\gt 0$，而这个不等式关系对于$r_2 \ge 1$显然有成立。
由$x-\ln(x)=s^2/2$,两边对$s$求导可以得出$(1-1/x)x'_s=s$,即$x'_s={sx}/{x-1}$
设$h(s)=x_1+x_2-m-\sqrt(m)=x_1+x_2-1-s^2/2-\sqrt{1+s^2/2}$
于是$h'(s)={sx_1}/{x_1-1}+{sx_2}/{x_2-1}-s-s/{2\sqrt{1+s^2/2}$
我们需要查看在多大范围内有${h'(s)}/s=1/{r_2}-1/{r_1}+1-1/{2\sqrt{1+s^2/2}}\lt 0$
${h'(s)}/s$关于$m$的图片如下:

还是有点不好分析

mathematica

我推测x1+x2<=m+1

mathematica

mathematica 发表于 2019-9-7 14:10
我推测x1+x2

这个似乎只适合当m距离1比较接近的情况

mathe

可以用牛顿迭代法快速计算x,迭代公式为$x-={x-\ln(x)-m}/{1-1/x}$.初值分别选exp(-m),m

kastin

也可等价为证明二者之积 `x_1x_2<e^{\sqrt{m}-m}`.

mathe

展开式说明$r_2^2-r_1^2=2(\sum_{t=3}^{\infty}{r_1^t-(-r_2)^t}/t)$
所以$r_2-r_1=2(\sum_{t=3}^{\infty}{r_1^t-(-r_2)^t}/{t(r_1-(-r_2))})=2(\sum_{t=3}^{\infty}{r_1^{t-1}-r_1^{t-2}r_2+...+(-r_2)^{t-1}}/t)<2(\sum_{t=1}^{\infty}{r_1^{2t+1}}/{2t+1})<2(\sum_{t=1}^{\infty}{s^{2t+1}}/{2t+1})=\ln({1+s}/{1-s})-2s$

这步开始有误，改为11楼


由于$x_2+x_1=2+r_2-r_1$,而$m+\sqrt(m)=1+s^2/2+\sqrt{1+s^2/2}$
可以先数值计算知道在$s<0.72529957814399878979475961595327914143$时$\ln({1+s}/{1-s})-2s<1+s^2/2+\sqrt{1+s^2/2}$
所以我们知道在$m<1.2630297390279313034810176817935331121$时不等式会成立。
而这部分只需要确认在$0<s<0.72529957814399878979475961595327914143$时$\ln({1+s}/{1-s})-2s<s^2/2+\sqrt{1+s^2/2}-1$即可，这个相对比较容易，就先省略了

mathe

对于m较大时的不等式就没有这么严格了，相对会比较好做。
由于$0<x_1<1$,而我们知道在$x\gt 1$时，$x/e\gt \ln(x)$
可以得出$e/{e-1} m - \ln(e/{e-1}m) \gt m$，由此得出$x_2<e/{e-1}m$
由此进一步得出$x_2=m+\ln(x_2)<m+\ln({em}/{e-1})$
所以如果$1+m+\ln({em}/{e-1})<m+\sqrt{m}$时不等式也成立，所以得出在$m>19.713339817401456278996157834379795162$时不等式成立
另外发现$0.1+m+\ln({em}/{e-1})<m+\sqrt{m}$恒成立，所以也就是在$x_1<0.1$时总是成立，对应$m>2.4025850929940456840179914546843642076$时总是成立

mathe

而头尾部分证明以后，中间部分其实用数值计算已经没有任何难度了。我们假设将这段m区间等分成若干段，由于x_1关于m单调减，x_2关于m单调增。区间充分小时，比如可以让左端点的x_1加右端点的x_2小于左端点的m+sqrt(m),这样就证实了在整个小区间不等式都成立，所以余下的任务就是将前面几个单变量解析函数不等式改为严格证明即可。由于函数仅牵涉对数，一次微分后就变成有理函数了，分析应该不难了