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[讨论] 一类特殊的五次方程

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发表于 2019-10-26 01:31:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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方程\(16x^5-20x^3+5x-c=0\)在\(\abs{c}\leq 1\)时是可以用三角函数解的,因为这就是\(\sin(5x)=c\)或者\(\cos(5x)=c\)。
c取其他值的情况呢?还有什么五次方程能写成这种形式?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-26 05:40:21 | 显示全部楼层
当`|c|>1`时,可改用双曲三角函数吧。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-10-26 22:58:23 | 显示全部楼层
令\(\D y=x^2+\frac{1}{2}ix-\frac{1}{2}\),可以把三次方消掉:
\(\D 256y^5+(40-40ic)y^2+15y+\frac{-2c^2+9ic+11}{2}=0\)
下一步的命令是  Collect[Resultant[11/2 - c^2 + 15 x + 40 x^2 + 256 x^5 + i ((9 c)/2 - 40 c x^2), y-(x^4+mx^3+nx^2+p), x],y] 然后让四次项、三次项、二次项等于0,这个我算不下去了,谁有mathematica帮我算算吧。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-10-26 23:24:26 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-10-27 15:57:19 | 显示全部楼层
manthanein 发表于 2019-10-26 22:58
令\(\D y=x^2+\frac{1}{2}ix-\frac{1}{2}\),可以把三次方消掉:
\(\D 256y^5+(40-40ic)y^2+15y+\frac{-2c ...


参考2#:
  1. In[1]:= 16x^5-20x^3+5x/.x->Cosh[t]//FullSimplify
  2. Out[1]= Cosh[5 t]
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