圆内接四边形的三条对角线

hujunhua

例题3.2  设`a,b,c,d,x,y`为正实数，且满足\[xy=ac+bd, \frac xy=\frac{ad+bc}{ab+cd}\]求证：\[\frac{abx}{a+b+x}+\frac{cdx}{c+d+x}=\frac{ady}{a+d+y}+\frac{bcy}{b+c+y}\]来源于管理员wayne的微信群。

hujunhua

微信群中给出了参考答案，wayne评为毫无美感，答案提供者说那解法纯属应付。
mathe提议设 `xz=ad+bc, yz=ab+cd`, 并言道“于是考虑边长为`a,b,c,d`的圆内接四边形，边顺序的不同安排得出对角线长度分别为`x,y;y,z;z,x`. 这时右边等式代表什么？和面积有关系吗？”
我试着画了一下图，发现 `x,y,z` 不是对角线长。但是mathe的提议显示了很好的数学直觉，使得结果和演算过程都更具对称性。
按mathe的提议，原题可改造为

已知：正实数`a,b,c,d,x,y,z`  满足 \(xy=ac+bd,yz=ab+cd, xz=ad+bc. \)

求证：\(\D\frac{abx}{a+b+x}+\frac{cdx}{c+d+x}=\frac{ady}{a+d+y}+\frac{bcy}{b+c+y}=\frac{acz}{a+c+z}+\frac{bdz}{b+d+z}\)

这才显示出圆满的对称性.

hujunhua

由改造后的题设3等式两两相加可得\[\begin{split}x(y+z)&&=(a+b)(c+d),\\y(z+x)&&=(a+d)(b+c),\\z(x+y)&&=(a+c)(b+d).\end{split}\]由此立即可以看出直接通分的美好前景, 比如连等式的左式通分后易化简为
\[\frac{abc+bcd+cda+dab+xyz}{a+b+c+d+x+y+z}\]
结果是`a,b,c,d;x,y,z`的全对称式，连等式当然成立!

mathe

托勒密定理：圆内接四边形对边乘积之和等于对角线乘积之和

mathe

另外在我给出的图的结构下，等式的意义是对角线划分四边形形成两个三角形的内接圆半径之和相等，和对角线的选择以及边的安排无关

mathe

需要注意对于任意给定的正数a,b,c,d,我们可以求得唯一的一组正数x,y,z满足条件。
因为三式相乘开平方得到$xyz=\sqrt{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}$，然后分别除以三式可以唯一确定x,y,z.
但是几何模型会有一个额外要求，即三边之和大于第四边。

hujunhua

mathe 发表于 2019-10-26 16:04
托勒密定理：圆内接四边形对边乘积之和等于对角线乘积之和

我前边画图时，可能搞错边了，说`x,y,z`不是对角线长，当时还感到好遗憾，如果是的多美呀。
原来美是不会错的

这一来,倒巧妙地得到了圆内接四边形的对角线长公式. 否则，如果要从完全四点形的边长约束（一个行列式）联立xy=ac+bd来解，还得费一番功夫。

wayne

题目可以扩展一下,让mathe的几何法失效,蛤蛤蛤.
对于给定的四个非零实数$a,b,c,d$, 如果任意三个数之和不等于第四个数. 那么原题目的结论仍然成立.
这是因为在3#通分化简的过程中，没有要求$a,b,c,d$是正数,只是要求$a+b+x!=0$,化简得到$abcd(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)!=0$
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对于非零实数$a,b,c,d$, 如果任意三数之和不等于另一个数，即$abcd(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)!=0$, 并且满足 $xy=ac+bd,yz=ab+cd, xz=ad+bc$，
则$\frac{abx}{a+b+x}+\frac{cdx}{c+d+x}=\frac{ady}{a+d+y}+\frac{bcy}{b+c+y}=\frac{acz}{a+c+z}+\frac{bdz}{b+d+z}$恒成立.

dingjifen

圆内接四边形何来的三条对角线呀？

hujunhua

@dingjifen 见4#的图