E为四边形ABCD对角线的交点，求证以A、B为焦点过E的椭圆和以C、D为焦点过E的椭圆相切

lsr314 · 发表于 2020-1-4 10:45:46

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有没有人知道这个是什么定理？

mathe · 发表于 2020-1-4 10:48:35

很显然，四边形内部任意选择一点E',那么|E'A|+|E'B|+|E'C|+|E'D|的极小值在E'=E时取到

wayne · 发表于 2020-1-4 11:23:14

如果是n边形呢,n边形内部的一点到n个顶点的距离之和最小,这个好像应该有结论吧

lsr314 · 发表于 2020-1-4 11:41:38

幸福_狐狸:切线和角平分线垂直，所以有共同的切线。

lsr314 · 发表于 2020-1-4 14:33:40

本帖最后由 lsr314 于 2020-1-4 14:37 编辑

补充：如图，O为四边形ABCD外接圆的圆心，E为对角线的交点，以四条边的端点为焦点且过点E的四个椭圆除了E以外分别交于K,L,M,N,P为四边形KLMN对角线的交点，求证P,E,O三点共线。

补充内容 (2020-1-8 23:06):
结论错误。

dingjifen · 发表于 2020-1-5 00:15:25

逆命题是否成立呢？

已知两椭圆外切，两椭圆外切点是否两椭圆焦点四边形的对角线交点？

dingjifen · 发表于 2020-1-5 00:31:16

楼主命题的构形还有内切形式。

如图，一个完全四点形ABCD有 6 条边，分为 3 组对边，有 3 个对边点P、Q、R。
楼主给出了过对边点 P 的构图（红色椭圆），是为外切。
而过另外两个对边点的构图则为内切(蓝色椭圆）。
透视相切.png

lsr314 · 发表于 2020-1-5 03:27:25

dingjifen 发表于 2020-1-5 00:15
逆命题是否成立呢？

已知两椭圆外切，两椭圆外切点是否两椭圆焦点四边形的对角线交点？

逆命题并不成立。

dingjifen · 发表于 2020-1-5 08:38:41

如果 4 点形是凹的，那么两椭圆在对边点P就不是相切，而是垂直相交了。
凹.png

dingjifen · 发表于 2020-1-5 13:26:48

所以，正确的楼主原命题严格地表述应是：

————E为凸四边形ABCD对角线的交点，则以A、B为焦点过E的椭圆和以C、D为焦点过E的椭圆外切。

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[讨论] E为四边形ABCD对角线的交点，求证以A、B为焦点过E的椭圆和以C、D为焦点过E的椭圆相切

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