向量商概念证明几何定理

dlsh

\(P是平行四边形ABCD内一点，如果∠BAP=∠BCP，证明∠PDC=∠CBP，PAPC+PBPD=ABCD\)，对于形外有什么结论？

dlsh

证明：假设B在原点，因为∠BAP=∠BCP，所以假设\(\frac{\vec{AP}}{\vec{AB}}=\lambda \frac{\vec{BC}}{\vec{CP}},其中\lambda是正实数，即\frac{p-a}{a}=\lambda\frac{c}{p-c}\)
可以化简为：
.\(p(p-d)=(\lambda-1)ac,即\frac{p}{c}=(1-\lambda)\frac{a}{d-p},\frac{\vec{BP}}{\vec{BC}}=(1-\lambda)\frac{\vec{CD}}{\vec{DP}},因为1-\lambda是实数，所以∠CBP=∠CDP\)

dlsh

以上问题暂停，现在看一典型例子。
计算结果表明MN：AI=λcosα

dlsh

这种方法不容易发现MN：AI=λcosα。

dlsh

如图，已知AD是平分线，证明AC：AB=CD：BC

证明：假设B在原点，c=1，其它假设如9楼 ，根据9和10楼，\(a=\frac{1}{1-\lambda  v}，\bar{a}=\frac{v}{v-\lambda },\bar{d}=d=\frac{1}{1-\lambda_{0}},根据复斜率定义和角度关系得到，\frac{a}{\bar{a}}v=\frac{a-d}{\bar{a}-\bar{d}}\)，即\[\frac{\frac{1}{1-\lambda  v}}{\frac{v}{v-\lambda }} v= \frac{\frac{1}{1-\lambda  v}-\frac{1}{1- }}{\frac{v}{v-\lambda }-\frac{1}{1-\lambda_{0} }}\]   ，化简后 可以求得\(\lambda_{0}=-\lambda，结论得证\)