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[原创] 向量商概念证明几何定理

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发表于 2020-1-14 21:08:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

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有关向量商的更多内容参考https://bbs.emath.ac.cn/thread-3241-4-1.html第六楼国际会议学术论文,向量商概念学术界有很多争议。
假设P在正三角形ABC的平面上,PA=PB+PC,则P在它的外接圆上。
搜狗截图20年01月14日2242_1.png
证明:假设它的中心0与原点重合,ω是三次单位根,a=1,则b=ω,c=\(\bar{ω},\)\(\frac{\vec{PB}}{\vec{PC}}=λv,其中\lambda和v分别是是长度和方向比\),利用向量定比分点公式得:
\(p=\frac{\omega-\omega^2\lambda v}{1-\lambda v}\),所以有\(\vec{PC}=\frac{\omega^2-\omega}{1-\lambda v},\vec{PA}=\frac{(1-\omega)(1+\omega^2\lambda v)}{1-\lambda v}\),
因为PA=PB+PC,所以\(|\frac{(1-\omega)(1+\omega^2\lambda v)}{1-\lambda v}|=|\frac{\omega^2-\omega}{1-\lambda v}|(1+\lambda )\),
化简后得\(\abs{1+\omega^2\lambda v}=1+\lambda\),显然可以求得v=ω,充分条件得证,必要条件比较容易,这里省去。

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发表于 2020-1-15 16:13:24 | 显示全部楼层
假设正三角形的边长是a
根据托勒密定理
PC*a+PB*a=PA*a
所以PA=PB+PC
这是我见过的最弱智的证明题!

点评

有时候用比较繁杂的方法去解决一个很简单的问题,其意义在于发现新的方法,就是小题大作论坛存在的意义,这名称取得很好。  发表于 2020-1-16 21:04
用简单的例子来说明问题是常用的方法,大家也在使用。  发表于 2020-1-16 19:58
托勒密定理不算基础定理,公理法证明有一定技巧。  发表于 2020-1-16 19:53
托勒密定理的逆定理!  发表于 2020-1-15 16:25
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发表于 2020-1-15 16:26:41 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-1-15 16:13
假设正三角形的边长是a
根据托勒密定理
PC*a+PB*a=PA*a

如果PA=PB+PC
对于任意的P点都成立,
能否推出ABC是正三角形呢?
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 楼主| 发表于 2020-1-15 22:51:18 | 显示全部楼层
就实例来说并不是很难,只是想说明虽然概i念非常清晰,数学理论已经非常完善,对这种概念存在争议,匪夷所思,或许是因为不重要。丁石孙在《数学的力量》(http://www.cms.org.cn/news/4532.html)中谈到:“……数学里要求对概念的描述非常准确。……数学的第二个特点就是它要求对概念非常准确地刻画。”向量商的定义应该是准确的。
应用托勒密定理和逆定理的确很容易,但是不用应该有一定难度,https://wenku.baidu.com/view/22b35262f121dd36a22d8270.html中提到的贝利切那德定理是什么?搜不到。
RE: 向量商概念证明几何定理 [修改]
mathematica 发表于 2020-1-15 16:26
如果PA=PB+PC
对于任意的P点都成立,
能否推出ABC是正三角形呢?
不可能对于任意的P点都成立,你可以根据椭圆的定义就可以知道,但是如果改成P在一段圆弧上,PA=PB+PC,倒是一个问题。
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 楼主| 发表于 2020-1-16 20:08:19 | 显示全部楼层

如图,证明:
1、AD·BC+AB·DC=AC·BD(托勒密定理)。
2、\(\frac{AD\cdot CD+BA\cdot BC}{AD\cdot  AB+CD\cdot BC}=\frac{DB}{AC}\)
托勒密定理用纯平几方法有一定难度,第二条合用面积方法和正弦定理容易证明。
QQ浏览器截屏未命名.png

点评

向量商概念证明这条定理是非常容易的。  发表于 2020-1-19 21:37
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 楼主| 发表于 2020-1-20 22:18:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2020-1-20 22:35 编辑

假设B在原点,d=1,\(\frac{\vec{AD}}{\vec{AB}}=\lambda v,\frac{\vec{BC}}{\vec{DC}}=-\lambda_{1}v,其中\lambda、\lambda_{1}和v分别是长度和方向商\),容易求出:
\(a=\frac{1}{1-\lambda v},c=\frac{1}{1+\lambda_{1} v}\),代入欲证明等式中即可证明。
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 楼主| 发表于 2020-1-25 21:54:56 | 显示全部楼层
    第一条结论非常明显,证明第二条结论如下:
   根据上楼得:
\(AB=\frac{1}{\abs{1-\lambda v}},AD=\frac{\lambda }{\abs{1-\lambda v}},BC=\frac{1}{\abs{1+\lambda _{1}v}},BD=\frac{\lambda{1} }{\abs{1-\lambda _{1}v}},\vec{AC}=\frac{(\lambda+\lambda{1})v}{(1-\lambda v)(1+\lambda_ {1}v)}\)

所以,\(\frac{ABBC+ADCD}{ADAB+BCCD}=\)=\(\frac{(1+\lambda\lambda_{1})\abs{1-\lambda v}\abs{1+\lambda_{1} v}}{\lambda\abs{1+\lambda_{1} v}^2+\lambda_{1} \abs{1-\lambda v}^2}\)=\(\frac{\abs{(1-\lambda v)(1+\lambda_{1} v)}}{(\lambda+\lambda_{1})}\)=\(\frac{BD}{AC}\)
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 楼主| 发表于 2020-1-29 22:03:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2020-1-29 22:07 编辑

角平分线定理

角平分线定理

如图,假设BD是角平分线,证明:\((1)AB:AC=ADC,(2)ABAC=ADDC+AD^2\)
证明:\(假设B在原点,c=1,a=λv,\bar{a}=\frac{\lambda}{v},\frac{\vec{AD}}{\vec{CD}}=\lambda_{0}\),则
\(d=\frac{a-\lambda_{0}}{1-\lambda_{0}}=\frac{λv-\lambda_{0}}{1-\lambda_{0}},\bar{d}=\frac{\bar{a}-\lambda_{0}}{1-\lambda_{0}}=\frac{λ/v-\lambda_{0}}{1-\lambda_{0}}\),因为\(\frac{d}{\bar{d}}=v\),所以\(\frac{λv-\lambda_{0}}{λ/v-\lambda_{0}}=v\),容易求得\(\lambda_{0}=-λ\),第一条结论得到证明。
从第一条结论得到\(d=\frac{λv+λ}{1+λ},\bar{d}=\frac{λ(v+1)}{(1+λ)v}\),欲证明结论等价于:
\(\lambda\left(\frac{λv+λ}{1+λ}-1\right)[\frac{λ(v+1)}{(1+λ)v}-1]+\frac{λ^2\left(1+v\right)^2}{\left(1+\lambda\right)^2v}=\lambda\)
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 楼主| 发表于 2020-1-30 21:30:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2020-1-30 21:31 编辑

方法二:假设B在原点,BC在实轴上,\(BD=1,a=\lambda d^2,则\bar{d}=1/d,\bar{a}=\lambda /d^2,\)易得直线AC的方程是:
\(\left(\frac{\lambda}{d^2}-1/d\right)z-\left(d^2\lambda-d\right)\bar{z}=\lambda/d-d\lambda\)
与实轴方程联立容易求出:
\(c=\bar{c}=\frac{\lambda d}{\lambda\left(1+d^2\right)-d}\)
\(\therefore\vec{AD}=d\left(1-\lambda d\right),\vec{CD}=\frac{d^2\left(\lambda d-1\right)}{\lambda\left(1+d^2\right)-d}\)
\(\frac{\vec{AD}}{\vec{CD}}=-\frac{\lambda\left(1+d^2\right)-d}{d},\frac{AB}{BC}=\frac{\lambda\left(1+d^2\right)-d}{d}\),第一条结论成立。
\(共轭向量\bar{\vec{CD}}=\frac{\lambda-d}{d[\lambda\left(1+d^2\right)-d]}\)
\(ABBC-ADCD=\frac{\lambda^2d}{\lambda\left(1+d^2\right)-d}+d\left(1-\lambda d\right)\frac{\left(\lambda-d\right)}{d[\lambda\left(1+d^2\right)-d]}=1=BD^2\)
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 楼主| 发表于 2020-2-2 22:13:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2020-2-2 22:56 编辑

方法三:\(假设B在原点,c=1,\frac{\vec{AC}}{\vec{AB}}=\lambda v,\frac{\vec{CD}}{\vec{BD}}=- \lambda \),可求得\(a=\frac{1}{1-\lambda v},d=\frac{1}{1+\lambda}\),所以
\(\vec{AD}=\frac{\lambda \left(v+1\right)}{\left(\lambda v-1\right )\left(\lambda-v\right)\left(1+\lambda\right)},AD^2=\frac{\lambda^2}{\left(1+\lambda\right)^2}\frac{\left(1+v\right)^2}{\left(\lambda v-1\right )\left(\lambda-v
\right)}\);
\(ABAC-ADBD=\lambda\left(AB^2-AD^2\right)=\lambda [\frac{v}{\left(1-\lambda v\right)\left(v-\lambda\right)}-\frac{1}{(1+\lambda)^2}]\)
化简后它们相等,所以结论得证。

角平分线与向量商

角平分线与向量商

点评

有关向量AD错误,应该去除(λ-v)  发表于 2020-2-5 21:14
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