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[原创] 向量商概念证明几何定理

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发表于 6 天前 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 dlsh 于 2020-1-14 22:47 编辑

有关向量商的更多内容参考https://bbs.emath.ac.cn/thread-3241-4-1.html第六楼国际会议学术论文,向量商概念学术界有很多争议。
假设P在正三角形ABC的平面上,PA=PB+PC,则P在它的外接圆上。
搜狗截图20年01月14日2242_1.png
证明:假设它的中心0与原点重合,ω是三次单位根,a=1,则b=ω,c=\(\bar{ω},\)\(\frac{\vec{PB}}{\vec{PC}}=λv,其中\lambda和v分别是是长度和方向比\),利用向量定比分点公式得:
\(p=\frac{\omega-\omega^2\lambda v}{1-\lambda v}\),所以有\(\vec{PC}=\frac{\omega^2-\omega}{1-\lambda v},\vec{PA}=\frac{(1-\omega)(1+\omega^2\lambda v)}{1-\lambda v}\),
因为PA=PB+PC,所以\(|\frac{(1-\omega)(1+\omega^2\lambda v)}{1-\lambda v}|=|\frac{\omega^2-\omega}{1-\lambda v}|(1+\lambda )\),
化简后得\(\abs{1+\omega^2\lambda v}=1+\lambda\),显然可以求得v=ω,充分条件得证,必要条件比较容易,这里省去。

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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 5 天前 | 显示全部楼层
假设正三角形的边长是a
根据托勒密定理
PC*a+PB*a=PA*a
所以PA=PB+PC
这是我见过的最弱智的证明题!

点评

有时候用比较繁杂的方法去解决一个很简单的问题,其意义在于发现新的方法,就是小题大作论坛存在的意义,这名称取得很好。  发表于 4 天前
用简单的例子来说明问题是常用的方法,大家也在使用。  发表于 4 天前
托勒密定理不算基础定理,公理法证明有一定技巧。  发表于 4 天前
托勒密定理的逆定理!  发表于 5 天前
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发表于 5 天前 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-1-15 16:13
假设正三角形的边长是a
根据托勒密定理
PC*a+PB*a=PA*a

如果PA=PB+PC
对于任意的P点都成立,
能否推出ABC是正三角形呢?
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 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
就实例来说并不是很难,只是想说明虽然概i念非常清晰,数学理论已经非常完善,对这种概念存在争议,匪夷所思,或许是因为不重要。丁石孙在《数学的力量》(http://www.cms.org.cn/news/4532.html)中谈到:“……数学里要求对概念的描述非常准确。……数学的第二个特点就是它要求对概念非常准确地刻画。”向量商的定义应该是准确的。
应用托勒密定理和逆定理的确很容易,但是不用应该有一定难度,https://wenku.baidu.com/view/22b35262f121dd36a22d8270.html中提到的贝利切那德定理是什么?搜不到。
RE: 向量商概念证明几何定理 [修改]
mathematica 发表于 2020-1-15 16:26
如果PA=PB+PC
对于任意的P点都成立,
能否推出ABC是正三角形呢?
不可能对于任意的P点都成立,你可以根据椭圆的定义就可以知道,但是如果改成P在一段圆弧上,PA=PB+PC,倒是一个问题。
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 楼主| 发表于 4 天前 | 显示全部楼层

如图,证明:
1、AD·BC+AB·DC=AC·BD(托勒密定理)。
2、\(\frac{AD\cdot CD+BA\cdot BC}{AD\cdot  AB+CD\cdot BC}=\frac{DB}{AC}\)
托勒密定理用纯平几方法有一定难度,第二条合用面积方法和正弦定理容易证明。
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点评

向量商概念证明这条定理是非常容易的。  发表于 昨天 21:37
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