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[投票] 如何证明?

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发表于 2020-3-4 16:21:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如何证明?
\[\D\sum_{k=1}^\infty\bigg(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta}\bigg)^k=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sin\theta}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-3-5 07:14:54 | 显示全部楼层

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评分

参与人数 1威望 +6 金币 +6 贡献 +6 经验 +6 鲜花 +6 收起 理由
王守恩 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 嗨!还有这么简单的方法!!!

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-3-5 14:13:10 | 显示全部楼层

很明显错误,左边是n的绝对值小于1的时候收敛,右边的分母小于零
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 楼主| 发表于 2020-3-6 10:05:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-3-6 10:09 编辑
mathematica 发表于 2020-3-5 14:13
很明显错误,左边是n的绝对值小于1的时候收敛,右边的分母小于零

谢谢 math_humanbeing!谢谢 mathematica!

\(n+n^2+n^3+\cdots+n^k+\cdots=\frac{n}{1-n}\)

令\(\ \ n=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta}\ \ \ \ \ \ \frac{n}{1-n}=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sin\theta}\)


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 楼主| 发表于 2020-11-13 17:26:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-13 18:08 编辑

把两个不寻常的常数绞在一起,不容易!如何来证明这漂亮的算式?

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\ \frac{1}{n}\bigg(\frac{n}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{n-1}{n} }\bigg)^n=e^{\ \gamma} \)
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 楼主| 发表于 2020-11-14 10:27:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-14 10:30 编辑
王守恩 发表于 2020-11-13 17:26
把两个不寻常的常数绞在一起,不容易!如何来证明这漂亮的算式?

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\ \f ...


能把如此重要的两个数学常数绞在一起,太不容易了!

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\sum_{k=1}^{n}\ \frac{\sqrt[n]{n}(k-1)}{n\ k}\bigg)^{n}=\frac{1}{e^{\gamma}}\]
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 楼主| 发表于 2020-11-15 19:47:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-15 19:51 编辑
王守恩 发表于 2020-11-14 10:27
能把如此重要的两个数学常数绞在一起,太不容易了!

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\sum_{ ...

求证:

\(\frac{\cos\theta(1+\sin\theta+\cos\theta)}{(1+\sin\theta)(1+\cos\theta-\sin\theta)}=1\)

\(\frac{\sin\theta(1+\cos\theta+\sin\theta)}{(1+\cos\theta)(1+\sin\theta-\cos\theta)}=1\)
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 楼主| 发表于 2020-11-18 15:19:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-18 15:21 编辑

如何证明?

Table[\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}\), {a, 1, 25}]

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}
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 楼主| 发表于 2020-11-19 10:45:01 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-11-18 15:19
如何证明?

Table[\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}\), {a, 1, 25}]

如何证明?

Table[\(\D\bigg\lfloor\frac{e/2}{e-(1+1/a)^a}\bigg\rfloor\), {a, 1, 25}]

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}
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 楼主| 发表于 2020-11-23 09:12:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-23 09:13 编辑
王守恩 发表于 2020-11-19 10:45
如何证明?

Table[\(\D\bigg\lfloor\frac{e/2}{e-(1+1/a)^a}\bigg\rfloor\), {a, 1, 25}]


这是怎么来的?

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}\)
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