如何证明？

王守恩

如何证明？
\[\D\sum_{k=1}^\infty\bigg(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta}\bigg)^k=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sin\theta}\]

mathematica

math_humanbeing 发表于 2020-3-5 07:14

很明显错误，左边是n的绝对值小于1的时候收敛，右边的分母小于零

王守恩

mathematica 发表于 2020-3-5 14:13
很明显错误，左边是n的绝对值小于1的时候收敛，右边的分母小于零

谢谢 math_humanbeing！谢谢 mathematica！

\(n+n^2+n^3+\cdots+n^k+\cdots=\frac{n}{1-n}\)

令\(\ \ n=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta}\ \ \ \ \ \ \frac{n}{1-n}=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sin\theta}\)

王守恩

把两个不寻常的常数绞在一起，不容易！如何来证明这漂亮的算式？

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\ \frac{1}{n}\bigg(\frac{n}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{n-1}{n} }\bigg)^n=e^{\ \gamma} \)

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-13 17:26
把两个不寻常的常数绞在一起，不容易！如何来证明这漂亮的算式？

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\ \f ...

能把如此重要的两个数学常数绞在一起，太不容易了！

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\sum_{k=1}^{n}\ \frac{\sqrt[n]{n}(k-1)}{n\ k}\bigg)^{n}=\frac{1}{e^{\gamma}}\]

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-14 10:27
能把如此重要的两个数学常数绞在一起，太不容易了！

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\sum_{ ...

求证：

\(\frac{\cos\theta(1+\sin\theta+\cos\theta)}{(1+\sin\theta)(1+\cos\theta-\sin\theta)}=1\)

\(\frac{\sin\theta(1+\cos\theta+\sin\theta)}{(1+\cos\theta)(1+\sin\theta-\cos\theta)}=1\)

王守恩

如何证明？

Table[\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}\), {a, 1, 25}]

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-18 15:19
如何证明？

Table[\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}\), {a, 1, 25}]

如何证明？

Table[\(\D\bigg\lfloor\frac{e/2}{e-(1+1/a)^a}\bigg\rfloor\), {a, 1, 25}]

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-19 10:45
如何证明？

Table[\(\D\bigg\lfloor\frac{e/2}{e-(1+1/a)^a}\bigg\rfloor\), {a, 1, 25}]

这是怎么来的？

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}\)

mathematica

王守恩 发表于 2020-11-23 09:12
这是怎么来的？

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}\)

斯特林公式