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楼主: 王守恩

[投票] 如何证明?

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发表于 2020-11-23 10:09:13 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-11-23 09:12
这是怎么来的?

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}\)

斯特林公式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-11-25 07:23:59 | 显示全部楼层

谢谢 mathematica!再来 1 串(这里勉强来了9串)?
\(9!=(\frac{9}{2.1701565})^9\)
\(99!=(\frac{99}{2.6313620})^{99}\)
\(999!=(\frac{999}{2.7064105})^{999}\)
\(9999!=(\frac{9999}{2.7167804})^{9999}\)
\(99999!=(\frac{99999}{2.7181003})^{99999}\)
\(999999!=(\frac{999999}{2.7182605})^{999999}\)
\(9999999!=(\frac{9999999}{2.7182791})^{9999999}\)
\(99999999!=(\frac{99999999}{2.7182815})^{99999999}\)
\(999999999!=(\frac{999999999}{2.7182818})^{999999999}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-11-27 08:31:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-27 08:37 编辑
王守恩 发表于 2020-11-25 07:23
谢谢 mathematica!再来 1 串(这里勉强来了9串)?
\(9!=(\frac{9}{2.1701565})^9\)
\(99!=(\frac{99}{2 ...

谢谢 northwolves!昨天好像看懂了,
还是不行。因为没有“方法”,往下去不了。
1, a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{2}\)
   \(n=\sqrt{a^2+b^2}\)   
2, a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{3}\)
   \(n=2\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}\)  
3, a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{4}\)
   \(n=\sqrt{2(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)}\)  
4, a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{5}\)
   \(n=\sqrt{2(a^2+ab+b^2)+\frac{2(a^2+3ab+b^2)}{\sqrt{5}}}\)
5, a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{6}\)
   \(n=\sqrt{4(a^2+\sqrt{3}ab+b^2)}\)
6, a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{7}\)
   \(n=?\)  
7, a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{8}\)
   \(n=?\)
8, a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{9}\)
   \(n=?\)
9, a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{10}\)
   \(n=?\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-11-27 13:33:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-27 14:05 编辑


如何证明?

若 a,b,c,d 是正整数,恒有:

\(\D\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b^{n+c}}{(a+b)^{n+d}}=\frac{b^{c+1}}{a(a+b)^d}\)

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-11-28 16:35:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-28 16:47 编辑
王守恩 发表于 2020-11-27 08:31
谢谢 northwolves!昨天好像看懂了,
还是不行。因为没有“方法”,往下去不了。
1, a,b 是已知条件( ...


  虽然缺少“方法”,还是大胆往前走。
     a,b,c 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{n}\right)=\pi\)
   \(n=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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