已知EA, EB和EC，求正方形ABCD的边长

mathematica

已知正方形ABCD中
`EA=2， EB=2\sqrt2，EC=2\sqrt3`
求正方形ABCD的边长.

我算出来的答案是`2 \sqrt{\sqrt{3}+2}`

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*反余弦角度相加等于90°*)
   
5. Solve[
   
6.     ArcCos[cs[x,Sqrt[8],2]]+
   
7.     ArcCos[cs[x,Sqrt[8],Sqrt[12]]]==Pi/2,
   
8.     {x}
   
9. ]
   
10. (*余弦值的平方和等于1*)
    
11. Solve[
    
12.     cs[x,Sqrt[8],2]^2+
    
13.     cs[x,Sqrt[8],Sqrt[12]]^2==1,
    
14.     {x}
    
15. ]
    

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\[\left\{\left\{x\to 2 \sqrt{\sqrt{3}+2}\right\}\right\}\]

\[\left\{\left\{x\to -2 \sqrt{2-\sqrt{3}}\right\},\left\{x\to 2 \sqrt{2-\sqrt{3}}\right\},\left\{x\to -2 \sqrt{\sqrt{3}+2}\right\},\left\{x\to 2 \sqrt{\sqrt{3}+2}\right\}\right\}\]

zeus

由欧拉的四面体体积公式$V_{ABCE}=0$立即可得

hujunhua

对正方形总有\[EA^2+EC^2=EB^2+ED^2\]又`EA^2:EB^2:EC^2=1:2:3`
故ED=EB, 所以A, E, C三点共线，`AC=2(\sqrt3±1)`, `AB=\sqrt2(\sqrt3±1)`

如果限定E在正方形内，就只有一解了。
如果你把图按比例画直观，就不用解了。

mathematica

hujunhua 发表于 2020-3-29 10:53
对正方形总有\[EA^2+EC^2=EB^2+ED^2\]又`EA^2:EB^2:EC^2=1:2:3`
故ED=EB, 所以A, E, C三点共线，`AC=2(\sq ...

第一个等式怎么得来的？

hujunhua

mathematica 发表于 2020-3-29 11:02
第一个等式怎么得来的？

这是不仅对正方形，而且对矩形普遍成立的一个定理呀。拿勾股定理易证。

mathematica

hujunhua 发表于 2020-3-29 11:11
这是不仅对正方形，而且对矩形普遍成立的一个定理呀。拿勾股定理易证。

证明看看，说思路

mathematica

hujunhua 发表于 2020-3-29 11:11
这是不仅对正方形，而且对矩形普遍成立的一个定理呀。拿勾股定理易证。

我自己会证明了！
不用什么勾股定理！
我用解析几何的办法就可以证明了，四个点四个坐标！
用解析几何的办法证明起来，简直太容易了，很显然成立！
不过第一次听说这个定理！

mathematica

hujunhua 发表于 2020-3-29 11:11
这是不仅对正方形，而且对矩形普遍成立的一个定理呀。拿勾股定理易证。

直接解析几何的办法干！
三个线段的长度导致三个方程，三个方程三个未知数（一个是正方形边长，一个是E点坐标），也能求解出来！

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*解析几何的办法求解这个问题，列出三点，然后两点之间距离公式，三个等式三个未知数*)
   
3. Solve[
   
4.     (x-0)^2+(y-a)^2==4&&
   
5.     (x-0)^2+(y-0)^2==8&&
   
6.     (x-a)^2+(y-0)^2==12,
   
7.     {x,y,a}
   
8. ]//FullSimplify//Grid
   

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求解结果
\[\begin{array}{ccc}
x\to -\sqrt{2} & y\to -\sqrt{6} & a\to -2 \sqrt{\sqrt{3}+2} \\
x\to -\sqrt{2} & y\to \sqrt{6} & a\to \sqrt{2} \left(\sqrt{3}-1\right) \\
x\to \sqrt{2} & y\to -\sqrt{6} & a\to \sqrt{2}-\sqrt{6} \\
x\to \sqrt{2} & y\to \sqrt{6} & a\to \sqrt{2}+\sqrt{6} \\
\end{array}\]

mathematica

mathematica 发表于 2020-3-29 13:56
直接解析几何的办法干！
三个线段的长度导致三个方程，三个方程三个未知数（一个是正方形边长，一个是E ...

起初我纳闷E点的坐标和等于边长，
再想到AEC三点共线，就不觉得奇怪了！