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[提问] 七根火柴求面积

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发表于 2020-4-6 16:37:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 dlpg070 于 2020-4-6 16:39 编辑

七根火柴求面积
七根火柴问题网上有许多类型,一般难度不大,但有趣
这是王守恩介绍的问题,但不仅研究角度alpha
还要求火柴包围区域的面积 设火柴长度为1,有3个问题
1 火柴如图交叉摆放所包围的面积是多少?
2 火柴不交叉摆放成三角形 ,所包围的面积最大是多少?
3 火柴不交叉摆放成多边形 ,所包围的面积最大是多少?
尽可能用中学生的方法
记得当年解出alpha,但没能解出面积



360截图20200403074646281.png
为了解题方便,我画了标注字符的图形

七根火柴1交叉s0.678459.png


360截图20200403074646281.png
七根火柴1交叉s0.678459.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-4-6 18:31:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 markfang2050 于 2020-4-6 18:33 编辑

这问题早已有通解;用等周定理可得正多边形的面积最大。至于你提的求任意多边形面积有成熟的程序(针对火柴问题是已知边长用海伦公式)可求的。
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 楼主| 发表于 2020-4-7 08:08:49 | 显示全部楼层
markfang2050 发表于 2020-4-6 18:31
这问题早已有通解;用等周定理可得正多边形的面积最大。至于你提的求任意多边形面积有成熟的程序(针对火柴 ...

你的回答无疑是对的,我也是这么计算的
这只是第3问的解
希望能
1:验算我的解是否正确(我的计算经常出错)
2:解答第1问
我的正七边形图片
图片中已经标明面积
七根火柴3正七边形s3.29651.png
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 楼主| 发表于 2020-4-7 09:35:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-4-7 09:56 编辑

--------------------------
求alpha很简单,但是计算面积之前必须先求角度alpha
只利用3个三角形的基本定理:
1 外角等于2个不相邻内角之和
2 等腰三角形2个底角相等
3 三角形3个内角之和等于180度
初中生都会计算,不必解方程
,简单介绍思路:
△AFG是等腰三角形
∠AFG=∠AGF=3 *alpha
∠FAG= alpha
因为三角形3个内角之和=180度
所以 alpha 3*alpha+ 3*alpha=180
alpha = 180/7
王守恩把7根火彩扩张为所有奇数根火柴,道理相同
-------------------------------------
3个问题面积的参考答案,请验算
我的算法很笨,请给出你的妙解

1 火柴如图交叉摆放所包围的面积是多少?               参考答案s=0.678459
2 火柴不交叉摆放成三角形 ,所包围的面积最大是多少?   参考答案s=1.98431
3 2 火柴不交叉摆放成多边形 ,所包围的面积最大是多少? 参考答案s=3.29651

第1问 的面积指 2个四边形 ABQC , QDRE 和1个三角形RFG的面积
---------------------------------


图片:
七根火柴1交叉s0.678459.png
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发表于 2020-4-7 12:48:24 | 显示全部楼层
角度出来了,其他的也就出来了,你还有什么要问的?是要求面积的精确值?
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 楼主| 发表于 2020-4-7 14:10:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-4-7 14:12 编辑
lsr314 发表于 2020-4-7 12:48
角度出来了,其他的也就出来了,你还有什么要问的?是要求面积的精确值?


说的对,有角度就有其他一切
我想得到面积的数值解即可,精度不限,有精确解更好
想园我少年时的梦----用中学生能理解的方法求解问题1的面积
我已经有思路,但演算能力差,缺乏自信,望赐教
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-4-8 11:27:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-4-8 14:31 编辑
dlpg070 发表于 2020-4-7 14:10
说的对,有角度就有其他一切
我想得到面积的数值解即可,精度不限,有精确解更好
想园我少年时的梦---- ...


中学生方法求面积:已验证,只用了三角函数
alpha =Pi/7;
x=1
AP=x*cos(alpha/2)
BP=x*sin(alpha/2)
tan(alpha/2)= x/2/AT
AT=x/2*cot(alpha/2)
AE=AD= 2* x cos(alpha)
AH= AD *cos(alpha/2)
DH= AD *sin(alpha/2)
PQ= BP*cot(3/2*alpha)
RT=x/2*tan(alpha)
AF=x/2/sin(alpha/2)

计算面积 5 部分(5个三角形):
s1 = AP*BP;
s2 = BP*PQ;
QH = AH - AP - PQ;
s3 = DH*QH;
HR = AT - AH - RT;
s4 = DH*HR ;
s5 = RT*x/2;
s = s1 + s2 + s3 + s4 + s5;

数值解: 火柴长度=1, s=0.678459
与我解方程的笨方法结果(参考答案)相同
可以写出面积的精确解,太长了,略去

依稀记得当年卡在求 Q ,R 点坐标
终于完成六十多年夙愿,心情大快,似同学少年

七根火柴1交叉s0.678459.png
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 楼主| 发表于 2020-4-8 14:41:35 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-4-8 11:27
中学生方法求面积:已验证,只用了三角函数
alpha =Pi/7;
x=1

七根火柴求面积第2问的答案
可以摆成2种三角形
1 没边火柴数 1 3 3
2 没边火柴数 3 2 2
显然,边长比 越接近1面积越大
即第2种面积最大
计算很简单 面积s= 1.98431
见图片
七根火柴2s1.98431.png
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发表于 2020-4-8 14:48:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-4-8 15:01 编辑
dlpg070 发表于 2020-4-8 11:27
中学生方法求面积:已验证,只用了三角函数
AP=x*cos(alpha/2)
BP=x*sin(alpha/2)


好像没有方法了?化简?

\(S=AB*BQ*\sin∠ABQ+QD*DR*\sin∠QDR+RF*FT*\sin∠RFT\)

\(=1*\frac{\sin(\pi/14)}{\sin(3\pi/14)}*\sin(5\pi/7)+\big(1-\frac{\sin(\pi/14)}{\sin(3\pi/14)}\big)*\big(1-\frac{1/2}{\sin(5\pi/14)}\big)*\sin(3\pi/7)+\frac{1/2}{\sin(5\pi/14)}*\frac{1}{2}*\sin(\pi/7)\)

=0.67845850566364262218859917894930909578096616049316
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发表于 2020-4-8 15:53:23 | 显示全部楼层
第一问的结果s是方程$4096x^6-249088x^4+790832x^2-311647=0$的解,是可以用根式表示出来的。

点评

谢谢,我特意用中学生的方法,也实现了用根式表示出来的精确解  发表于 2020-4-8 16:33
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