七根火柴求面积

王守恩

zeroieme 发表于 2020-4-10 19:02
如果面积比是1/2，火柴围成的面积应当是∞。因为大三角形底恒为1，但高趋向无穷。

大三角形面积=\(\D\frac{\sin^2(\frac{(m-1)\pi}{2m})}{2\sin(\frac{\pi}{m})}\)
m=3，S=0.4330127018922193233818615853764680917357
m=5，S=0.7694208842938133506425726440092274560016
m=7，S=1.0953215668837057681011722712581738610375
m=9，S=1.4178204549044273827486046099659911054063

dlpg070

王守恩 发表于 2020-4-10 20:13
大三角形面积=\(\D\frac{\sin^2(\frac{(m-1)\pi}{2m})}{2\sin(\frac{\pi}{m})}\)
m=3，S=0.433012701892 ...

按王守恩公式计算面积比的计算结果
m=15 lsr314 和 王守恩的计算结果相同
{火柴面积,三角形面积,面积比}

火柴数        火柴面积        三角形面积        面积比
3        0.433013        0.433013        1.
5        0.544907        0.769421        0.708204
7        0.678459        1.09532        0.619415
9        0.820661        1.41782        0.578819
11        0.96755        1.73879        0.556451
13        1.11733        2.05894        0.542676
15        1.26906        2.37859        0.533533
17        1.42215        2.69793        0.527126
19        1.57625        3.01705        0.522447
21        1.73111        3.33602        0.518916
23        1.88658        3.65487        0.516182
25        2.04252        3.97364        0.514018
27        2.19885        4.29233        0.512273
29        2.35549        4.61098        0.510844
31        2.5124        4.92958        0.509659
33        2.66954        5.24815        0.508663
35        2.82686        5.56668        0.507818
37        2.98435        5.88519        0.507095
39        3.14198        6.20369        0.50647
41        3.29974        6.52216        0.505927
43        3.4576        6.84062        0.505451
45        3.61556        7.15906        0.505033
47        3.77361        7.4775        0.504662
49        3.93173        7.79592        0.504331
51        4.08992        8.11434        0.504036
53        4.24817        8.43274        0.503771
55        4.40647        8.75114        0.503531
57        4.56483        9.06954        0.503315
59        4.72324        9.38792        0.503118
61        4.88168        9.70631        0.502939
63        5.04016        10.0247        0.502775
65        5.19868        10.3431        0.502625
67        5.35724        10.6614        0.502488
69        5.51582        10.9798        0.502361
71        5.67443        11.2982        0.502244
73        5.83306        11.6165        0.502135
75        5.99172        11.9349        0.502035
77        6.1504        12.2532        0.501941
79        6.3091        12.5716        0.501854
81        6.46782        12.8899        0.501773
83        6.62656        13.2083        0.501697
85        6.78532        13.5266        0.501627
87        6.94409        13.845        0.50156
89        7.10288        14.1633        0.501498
91        7.26168        14.4817        0.501439
93        7.42049        14.8        0.501384
95        7.57932        15.1183        0.501333
97        7.73815        15.4367        0.501284
99        7.897        15.755        0.501237
101        8.05586        16.0734        0.501194


画曲线图(面积比由1.0迅速下降到接近0.5)

王守恩

lsr314 发表于 2020-4-10 11:36
如果火柴的长度是1，那么n根火柴围成的面积大约是$s=1/8cot(pi/(2n))$.

大三角形面积 =\(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin\big(\frac{(2k-1)\pi}{2n-1}\big)}{2}=\frac{\sin^2(\frac{(n-1)\pi}{2n-1})}{2\sin(\frac{\pi}{2n-1})}\)   也就是说，我们有：

\(\D\sin(\frac{\pi}{2n-1})+\sin(\frac{3\pi}{2n-1})+\sin(\frac{5\pi}{2n-1})+...+\sin(\frac{(2n-1)\pi}{2n-1})\equiv\frac{\sin^2(\frac{(n-1)\pi}{2n-1})}{\sin(\frac{\pi}{2n-1})}\)

有见过这恒等式的，给个链接。谢谢！

dlpg070

王守恩 发表于 2020-4-11 18:09
大三角形面积 =\(\D\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin\big(\frac{(2k-1)\pi}{2n-1}\big)}{2}=\frac{\sin^2(\fra ...

对于n>=2恒等式成立, 把2n-1改为2n+1,可能更好,利用几何图形可证明

王守恩

dlpg070 发表于 2020-4-8 11:27
中学生方法求面积:已验证,只用了三角函数
alpha =Pi/7;
x=1

     看7#图(不能多画几个图吗？)。
1，求证：  ∠BAC = ∠EFG = 180/7
2，求证：三角形BAC 全等于 三角形EFG
3，求证：三角形QBC面积 + 三角形QDE面积 > 三角形QBD面积 + 三角形QCE面积
4，求证：三角形RDE面积 + 三角形RFG面积 > 三角形RDF面积 + 三角形REG面积
注：七根火柴图形改 9，11，13，15,......根火柴图形，上述结论不变。

dlpg070

王守恩 发表于 2020-4-12 09:44
看7#图(不能多画几个图吗？)。
1，求证：  ∠BAC = ∠EFG = 180/7
2，求证：三角形BAC 全等于 三 ...

这几个问题很容易回答,不如利用图形证明
大三角形面积 恒等式, 不必用n,直接用m,(lsr314的n 对应你的m)
右边显然可化简为: 1/4 Cot[Pi/(2 m)]  
左边可利用等腰三角形特性先求边长再求面积

dlpg070

王守恩 发表于 2020-4-12 09:44
看7#图(不能多画几个图吗？)。
1，求证：  ∠BAC = ∠EFG = 180/7
2，求证：三角形BAC 全等于 三 ...

利用几何图形证明化简后恒等式
参考7根火柴,9根火彩的图片
m=火柴数
alpha=Pi/m
左边:
FT=1/2
∠FAT=alpha/2
AT/FT=Cot[alpha/2]
△AFG面积= AT*FT= Cot[alpha/2]*FT*FT
         = 1/4Cot[Pi/(2m)]
可以证明 这是王守恩公式的化简结果
         
右边: 根据斜边求面积
AF= AB+BD+DF+---,(m-1)/2项
AG= AC+CE+EG+---,(m-1)/2项
AF=AG
AB=AC
BD=CE
DF=EG
---
为了便于推广到任意m根火柴,记每段线段长度为
a[1],a[2],a[3],--- ,(m-1)/2项
a[1]=AB=AC
a[2]=BD=CE
a[3]=DF=EG
---
a[(m-1)/2]
边长= a[1]+a[2]+a[3]+---+ a[(m-1)/2]
△AFG面积= 边长*Cos[Pi/(2m)]*FT
         =(a[1]+a[2]+a[3]+---+a[(m-1)/2])* Cos[Pi/(2m)]/2
根据等腰三角形的外角关系,可以容易得到各个角度,进而得到a[ i ]
a[1]= Cos[(1-1)Pi/m]         
a[2]= Cos[(2-1)Pi/m]         
a[3]= Cos[(3-1)Pi/m]
---
a[(m-1)/2]= Cos[((m-1)/2-1)Pi/m]
为了便于编辑,求和符号采用InputForm ,不是StandardForm

△AFG面积= ( Cos[(1-1)Pi/m]+ Cos[(1-1)Pi/m]+---+ Cos[((m-1)/2-1)Pi/m])* Cos[Pi/(2m)]/2

即 右边:
m 是火柴根数 m>=3,奇数

大三角形面积 = Sum[ Cos[(k-1)Pi/m]*Cos[Pi/(2m)]/2, {k, 1, (m-1)/2}]
大三角形面积 = Sum[Sin[(2*k - 1)*(Pi/m)]/2, {k, 1, (m - 1)/2}]
已经验证
\(\sum _{k=1}^{\frac{m-1}{2}} \frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi }{2 m}\right) \cos \left(\frac{\pi  (k-1)}{m}\right)\)

\(\sum _{k=1}^{\frac{m-1}{2}} \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi  (2 k-1)}{m}\right)\)


补充内容 (2020-4-14 07:35):
这个求和公式有误:
大三角形面积 = Sum[ Cos[(k-1)Pi/m]*Cos[Pi/(2m)]/2, {k, 1, (m-1)/2}
这个求和公式正确:
大三角形面积 = Sum[Sin[(2*k - 1)*(Pi/m)]/2, {k, 1, (m - 1)/2}]

补充内容 (2020-4-14 07:38):
大三角形面积 = 1/4Cot[Pi/(2m)]  正确

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-4-12 16:25
利用几何图形证明化简后恒等式
参考7根火柴,9根火彩的图片
m=火柴数

七根火柴求面积讨论小结:
讨论非常成功,收获颇丰,超乎预料
1 实现了中学生能懂的精确公式
2 王守恩把问题出色的扩展到任意奇数根火柴
  通项公式简洁,不能再化简,超水平的给出多个数值解
3 lsr314高屋建瓴给出理论解,计算准确且预测面积比,
最后给出大三角形面积恒等式的验证代码

1. Clear["Global`*"]
   
2. Print[
   
3.   "大三角形面积仿王守恩的左侧求和公式:ok 化简 "\
   
4. ]
   
5. FullSimplify[
   
6.   Sum[(1/2)*Sin[((2*k - 1)*Pi)/m],
   
7.    {k, 1, (m - 1)/2}]]
   
8. Print[
   
9.   "大三角形面积王守恩右侧公式:ok 化简 "\
   
10. ]
    
11. FullSimplify[Sin[(m - 1)*(Pi/2/m)]^2/
    
12.    (2*Sin[Pi/m])]
    
13. Print["大三角形面积化简后都是 \
    
14. \!\(\*FractionBox[\(1\), \(4\)]\) \
    
15. Cot[\!\(\*FractionBox[\(\[Pi]\), \(2\\ \
    
16. m\)]\)]"]

复制代码

王守恩

dlpg070 发表于 2020-4-12 08:51
对于n>=2恒等式成立, 把2n-1改为2n+1,可能更好,利用几何图形可证明

这几个恒等式还是蛮有用的。


\(\D\sin⁡(\frac{\pi}{2n+1})+\sin⁡(\frac{3\pi}{2n+1}+\sin⁡(\frac{5\pi}{2n+1})+...+\sin⁡(\frac{(2n-1)\pi}{2n+1})≡\frac{\sin⁡(\frac{n*\pi}{2n+1})}{2\cos(\frac{n*\pi}{2n+1})}\)

\(\D\sin⁡(\frac{2\pi}{2n+1})+\sin⁡(\frac{4\pi}{2n+1}+\sin⁡(\frac{6\pi}{2n+1})+...+\sin⁡(\frac{2n*\pi}{2n+1})≡\frac{\sin⁡(\frac{n*\pi}{2n+1})}{2\cos(\frac{n*\pi}{2n+1})}\)

\(\cos(\frac{\pi}{2(2n+1)})+\cos(\frac{3\pi}{2(2n+1)}+\cos(\frac{5\pi}{2(2n+1)})+...+\cos⁡(\frac{(2n-1)\pi}{2(2n+1)})≡\frac{\sin⁡(\frac{n*\pi}{2n+1})}{2\cos(\frac{n*\pi}{2n+1})}\)

dlpg070

王守恩 发表于 2020-4-16 15:50
这几个恒等式还是蛮有用的。

恒等式成立,全部等于
\(\frac{1}{2} \cot \left(\frac{\pi }{4 n+2}\right)\)

因为2n+1,恒等式 n>=1 成立,容易化简验证