求证非等边三角形外心、内心、垂心之间的夹角大于90度

lsr314

三个问题：
（1）已知非等边三角形三个角A,B,C，求其外心、内心、垂心之间的夹角I=∠OIH.
（2）求证：I>90°.
（3）求当夹角趋于90度时，三角形三个角的极限值.

mathematica

这个是你提出的猜想，还是什么？
我看到标题里面的原创，然后提出这个疑问！

个人建议使用解析几何的办法，
然后求解出内心，垂心，外心，
内心表达式比较复杂。
我假定A(0,0) B（1,0）C(a,b)

\[\left\{\text{xi}\to \frac{\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right) \left(-2 \sqrt{(a-1)^2+b^2}+2 a \left(\sqrt{(a-1)^2+b^2}+a-2\right)+b^2+2\right)}{b^2}} \left(\sqrt{(a-1)^2+b^2}-a+1\right)+b \left(-\sqrt{(a-1)^2+b^2}\right)+b}{2 b},\text{yi}\to \frac{b \left(b-\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right) \left(-2 \sqrt{(a-1)^2+b^2}+2 a \left(\sqrt{(a-1)^2+b^2}+a-2\right)+b^2+2\right)}{b^2}}\right)+a \left(\sqrt{(a-1)^2+b^2}+a-1\right)}{2 b}\right.\]

垂心 外心计算应该比较简单，你自己试试看，
然后计算内积，用最优化函数计算一下余弦值的最大值，如果小于零，就证明了你的猜想。

zeus

可以证明（2）是正确的，当且仅当三角形等边时是直角。

hejoseph

一个思路：设三角形三边为 $a$、$b$、$c$，外接圆半径为 $R$，内切圆半径为 $r$，那么
\begin{align*}
OI^2&=R^2-2Rr\\
HI^2&=4R^2-8Rr-(a^2+b^2+c^2)+ab+ac+bc\\
OH^2&=9R^2-(a^2+b^2+c^2)
\end{align*}
这样夹角的余弦值就能得到关于 $a$、$b$、$c$ 的函数了，再可转化为 $b/a$、$c/b$ 的二元函数。

陈九章

dlsh

上楼指明不错，但是最后问题没有解决。

陈九章

陈九章

请dlsh老师用功能强大的符号软件证明如下猜想：

dlsh

谢谢上楼，猜想用数值证明用软件容易，但是不清楚能否用数值证明，直接计算恐怕软件也不行。这方面Mathematica老师应该更熟悉。你的问题属于几何不等式，国内杨路老师研究较多。怎么会想到？

dlsh

画板软件显示其中一个角是钝角的不等边三角形，一个角趋近0度有可能接近九十度。但是用三角和复数都没有解决。

趋近九十度

复数形式

三角形式