10^n+1素数问题

winxos

形如$10^n+1$的素数，头两个是11，101 下一个是多少位数？当n为哪些数的时候一定是合数？

看看大家有没有什么好的想法。

winxos

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mathe

必要条件,n是2的幂. 其实这个同费马素数问题很类似

winxos

必要条件,n是2的幂. 其实这个同费马素数问题很类似 mathe 发表于 2009-8-27 23:03

为什么这么多问题都涉及到2的幂呢？是否有什么必然性？

mathe

显然,对于n不是2的幂,多项式$x^n+1$可以因子分解,这个是因为对于任何奇数n,$x+1|x^n+1$

mathe

而对于$10^{2^k}+1$,在$2<=k<=14$时都不是素数.

mathe

Lucas's Primality Test With Factored N-1 n-1 tests and Pepin's Test for Fermats

mathe

根据第二个链接的定理2,对于$P=10^{2^k}+1$,只要找到一个数a,使得 $a^{P-1}-=1(mod P)$, $gcd(a^{(P-1)/5}-1","P)=1$ 那么P是素数.

mathe

当然如果$a^{P-1} !-= 1(mod P)$那么P不是素数. 对于$k=15$时,光计算$2^{P-1}(mod P)$已经挺慢的了.不知道gxqcn是否可以用HugeCalc来写个判断这一类数的素性的程序

gxqcn

有空我试试看。 HugeCalc 针对 10^n+1 型的模运算有加速算法。