又遇上了mathematica的bug

mathematica

lsr314 发表于 2020-6-3 15:49
三角形三个角都小于120°的情况下，费马点到三个顶点的距离之和为$L=sqrt((a^2+b^2+c^2)/2+2sqrt(3)S)$.
...

为什么我用mathematica算出来的结果表达式很复杂，你的长度之和是怎么推导出来的，你的S又是什么意思？

mathematica

lsr314 发表于 2020-6-3 15:49
三角形三个角都小于120°的情况下，费马点到三个顶点的距离之和为$L=sqrt((a^2+b^2+c^2)/2+2sqrt(3)S)$.
...

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*解方程组，三边都是120，根据三边长来表示费马点到三个顶点的距离*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     cs[x,y,c]==-1/2&&
   
7.     cs[y,z,a]==-1/2&&
   
8.     cs[z,x,b]==-1/2
   
9. },{x,y,z}]
   
10. (*求解费马点到三个顶点的距离和，并且化简*)
    
11. ((x+y+z)/.ans)//FullSimplify
    

复制代码

求解结果：
\[\left\{\frac{\sqrt{\frac{2 c^6+\left(b^2-5 a^2\right) c^4+\left(4 a^4-3 b^2 a^2+b^4\right) c^2+\left(a^2-b^2\right)^2 \left(-\left(a^2-2 b^2\right)\right)-\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}}{a^4-\left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4-b^2 c^2}} \left(\left(b^2+c^2\right) \sqrt{3} a^6-2 \sqrt{3} \left(b^4+c^2 b^2+c^4\right) a^4+\left(b^6+2 c^2 b^4+2 c^4 b^2+c^6\right) \sqrt{3} a^2+2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)} a^2-\sqrt{3} b^2 c^2 \left(b^4+c^4\right)-b^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}-c^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}\right)}{2 \sqrt{2} (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) \left(a^4-2 \left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4+b^2 c^2\right)},\frac{\sqrt{\frac{2 c^6+\left(b^2-5 a^2\right) c^4+\left(4 a^4-3 b^2 a^2+b^4\right) c^2+\left(a^2-b^2\right)^2 \left(-\left(a^2-2 b^2\right)\right)-\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}}{a^4-\left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4-b^2 c^2}} \left(-\sqrt{3} \left(b^2+c^2\right) a^6+2 \left(b^4+c^2 b^2+c^4\right) \sqrt{3} a^4-\sqrt{3} \left(b^6+2 c^2 b^4+2 c^4 b^2+c^6\right) a^2-2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)} a^2+b^2 c^2 \left(b^4+c^4\right) \sqrt{3}+b^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}+c^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}\right)}{2 \sqrt{2} (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) \left(a^4-2 \left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4+b^2 c^2\right)},\frac{\sqrt{\frac{2 c^6+\left(b^2-5 a^2\right) c^4+\left(4 a^4-3 b^2 a^2+b^4\right) c^2+\left(a^2-b^2\right)^2 \left(-\left(a^2-2 b^2\right)\right)+\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}}{a^4-\left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4-b^2 c^2}} \left(\left(b^2+c^2\right) \sqrt{3} a^6-2 \sqrt{3} \left(b^4+c^2 b^2+c^4\right) a^4+\left(b^6+2 c^2 b^4+2 c^4 b^2+c^6\right) \sqrt{3} a^2-2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)} a^2-\sqrt{3} b^2 c^2 \left(b^4+c^4\right)+b^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}+c^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}\right)}{2 \sqrt{2} (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) \left(a^4-2 \left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4+b^2 c^2\right)},-\frac{\sqrt{\frac{2 c^6+\left(b^2-5 a^2\right) c^4+\left(4 a^4-3 b^2 a^2+b^4\right) c^2+\left(a^2-b^2\right)^2 \left(-\left(a^2-2 b^2\right)\right)+\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}}{a^4-\left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4-b^2 c^2}} \left(\left(b^2+c^2\right) \sqrt{3} a^6-2 \sqrt{3} \left(b^4+c^2 b^2+c^4\right) a^4+\left(b^6+2 c^2 b^4+2 c^4 b^2+c^6\right) \sqrt{3} a^2-2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)} a^2-\sqrt{3} b^2 c^2 \left(b^4+c^4\right)+b^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}+c^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}\right)}{2 \sqrt{2} (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) \left(a^4-2 \left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4+b^2 c^2\right)}\right\}\]

结果不是一般的复杂，你的太简单了

mathematica

lsr314 发表于 2020-6-3 15:49
三角形三个角都小于120°的情况下，费马点到三个顶点的距离之和为$L=sqrt((a^2+b^2+c^2)/2+2sqrt(3)S)$.
...

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*解方程组，三边都是120，根据三边长来表示费马点到三个顶点的距离*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     cs[x,y,c]==-1/2&&
   
7.     cs[y,z,a]==-1/2&&
   
8.     cs[z,x,b]==-1/2
   
9. },{x,y,z}]
   
10. (*求解费马点到三个顶点的距离和(结果平方以下，更简单！)，并且化简*)
    
11. f=((x+y+z)^2/.ans)//FullSimplify
    
12. ff=Transpose[{f}]//Grid
    

复制代码

\[\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a+c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)}}{2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)} \\
\frac{1}{2} \left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a+c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)}}{2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)} \\
\frac{1}{2} \left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a+c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)}}{2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)} \\
\frac{1}{2} \left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a+c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)}}{2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)} \\
\end{array}\]



这个是距离和平方后的表达式，看起来还算马虎

mathematica

@lsr314
我想知道的是你如何推导出来的？

lsr314

mathematica 发表于 2020-6-3 16:38
@lsr314
我想知道的是你如何推导出来的？

我百度的

mathematica

lsr314 发表于 2020-6-3 16:42
我百度的

我找到回答了，有时候数学思维比mathematica软件更重要，这完全就是一个能手工推导出来的公式

三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?
请用A,B,C代表三边,分类讨论(注意内角不一定比120度小).

https://www.zybang.com/question/ ... d31a4577013d43.html

mathematica

lsr314 发表于 2020-6-3 16:42
我百度的

良好的数学概念，比数学软件更重要，
数学软件就是个鸦片，我现在吸鸦片上瘾，
总想着靠计算机来解决问题，
但是计算机不会思考！
不懂得如何去化简。
看来人的思考、mathematica、搜索引擎要结合起来使用！

chyanog

mathematica 发表于 2020-6-3 16:08
为什么我用mathematica算出来的结果表达式很复杂，你的长度之和是怎么推导出来的，你的S又是什么意思？

1. Simplify[Solve[Function[{a,b,c},(a^2+b^2-c^2)/(2 a b)]@@@{{x,y,c},{y,z,a},{z,x,b}}==-1/2&&L==x+y+z,{L},{x,y,z}],
   
2.   16S^2==(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)]//PowerExpand

复制代码

\(\left\{\left\{L\to -\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to -\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\}\right\}\)

mathematica

chyanog 发表于 2020-6-3 18:06
\(\left\{\left\{L\to -\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to \fr ...

1. Solve[Function[{a, b, c}, (a^2 + b^2 - c^2)/(2 a b)] @@@ {{x, y,
   
2.       c}, {y, z, a}, {z, x, b}} == -1/2 && L == x + y + z, {L}, {x, y,
   
3.    z}]

复制代码

这个里面{L}, {x, y, z}是什么意思？为什么把求解的变量放在两个大括号里面

mathematica

chyanog 发表于 2020-6-3 18:06
\(\left\{\left\{L\to -\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to \fr ...

mathematica帮助文件搜索tutorial/EliminatingVariables
然后就是了，可以用solve消除变量