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[提问] 在四边形内,找1点使它到3点(2个相邻顶点+1条对边)距离之和最小。

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发表于 2020-6-3 19:45:14 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 王守恩 于 2020-6-3 20:33 编辑

在四边形内,找1点使它到3点(2个相邻顶点+1条对边)距离之和最小。
范围太宽了?要不我们先从正方形,长方形,直角梯形说起。
有见过此类话题的,请提供信息。感谢不尽!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-6-3 20:26:09 | 显示全部楼层
和这个问题本质上是一样的https://bbs.emath.ac.cn/thread-17297-1-1.html

点评

每个四边形(形状不变)4条边,有4个解,应该有1个是最小的,有规律吗?  发表于 2020-6-3 20:38
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 楼主| 发表于 2020-6-4 14:05:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-4 15:50 编辑

题目:在四边形ABFG内,找一点P
使它到3点(2个相邻顶点A,B,1条对边FG)距离之和(PA+PB+PC)最小。
第一步:我们总可以让四边形ABFG变成直角梯形ABDE
过A作FG的垂线,垂足是E,过B作FG的垂线,垂足是D,ABDE是直角梯形
第二步:我们总可以让直角梯形ABDE变成三角形ABC
P是直角梯形ABDE内一点,过P作DE的垂线,垂足是C,ABC是三角形。
第三步:P是三角形ABC的费马点,因为  \(\frac{AE-PC}{EC}=\frac{BD-PC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
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 楼主| 发表于 2020-6-5 08:12:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-5 14:01 编辑
王守恩 发表于 2020-6-4 14:05
题目:在四边形ABFG内,找一点P
使它到3点(2个相邻顶点A,B,1条对边FG)距离之和(PA+PB+PC)最小。
第一步: ...

将军马饮水问题(主帖的特例):
梯形ABDE,直角边DE上找P,使PA+PB最小。
因为 \(\D\frac{AE}{PE}=\frac{BD}{PD}\)

\((PA+PB)^2=(AE+BD)^2+ED^2\)
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 楼主| 发表于 2020-6-5 08:17:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-5 09:12 编辑

记P为三角形ABC费马点,我们有:
\(\D(PA+PB+PC)^2=a^2+b^2+2ab\sin(A+B+30^\circ)\)
同理:
\((PA+PB+PC)^2=\sin^2A+\sin^2B+2\sin A\sin B\sin(A+B+30^\circ)\)
朋友!如果你不喜欢三角函数,也是可以的!
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