在四边形内，找1点使它到3点(2个相邻顶点+1条对边)距离之和最小。

王守恩

在四边形内，找1点使它到3点(2个相邻顶点+1条对边)距离之和最小。
范围太宽了？要不我们先从正方形，长方形，直角梯形说起。
有见过此类话题的，请提供信息。感谢不尽！

lsr314

和这个问题本质上是一样的https://bbs.emath.ac.cn/thread-17297-1-1.html

王守恩

题目：在四边形ABFG内，找一点P
使它到3点(2个相邻顶点A,B,1条对边FG)距离之和(PA+PB+PC)最小。
第一步：我们总可以让四边形ABFG变成直角梯形ABDE
过A作FG的垂线,垂足是E，过B作FG的垂线,垂足是D，ABDE是直角梯形
第二步：我们总可以让直角梯形ABDE变成三角形ABC
P是直角梯形ABDE内一点，过P作DE的垂线,垂足是C，ABC是三角形。
第三步：P是三角形ABC的费马点，因为  \(\frac{AE-PC}{EC}=\frac{BD-PC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-6-4 14:05
题目：在四边形ABFG内，找一点P
使它到3点(2个相邻顶点A,B,1条对边FG)距离之和(PA+PB+PC)最小。
第一步： ...

将军马饮水问题(主帖的特例)：
梯形ABDE,直角边DE上找P，使PA+PB最小。
因为 \(\D\frac{AE}{PE}=\frac{BD}{PD}\)

\((PA+PB)^2=(AE+BD)^2+ED^2\)

王守恩

lsr314 发表于 2020-6-3 20:26
和这个问题本质上是一样的https://bbs.emath.ac.cn/thread-17297-1-1.html

记P为三角形ABC费马点，我们有：
\(\D(PA+PB+PC)^2=a^2+b^2+2ab\sin(A+B+30^\circ)\)
同理：
\((PA+PB+PC)^2=\sin^2A+\sin^2B+2\sin A\sin B\sin(A+B+30^\circ)\)
朋友！如果你不喜欢三角函数，也是可以的！