如何求下面的问题的最小值？

mathematica

AB=4
CD=8
BC=16
AB CD EF都垂直于BC
E F是两个动点，
求FA+FD+FE的最小值
抖音上看到的，确实是初中问题，也确实能用初等办法解答，
我也确实看了回答，但是确实没看懂！
大家看看怎么解答！

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. ans=Minimize[{FA+FE+FD,(*目标函数*)
   
3.     (*约数条件*)
   
4.     FA^2==(x-0)^2+(y-4)^2&&
   
5.     FD^2==(x-16)^2+(y-8)^2&&
   
6.     FE==y&&
   
7.     (*限制变量范围*)
   
8.     FA>0&&FD>0&&FE>0
   
9. },{x,y,FA,FD,FE}]//FullSimplify;
   
10. Print["最小值为："]
    
11. ans[[1]]
    
12. Print["{x,y,FA,FD,FE}"]
    
13. RootApproximant@N[{x,y,FA,FD,FE}/.ans[[2]],300]
    

复制代码

最小值
\[8 \sqrt{3}+6\]
{x,y,FA,FD,FE}
变量取值是
\[\left\{8-2 \sqrt{3},\frac{1}{3} \left(18-8 \sqrt{3}\right),\frac{1}{3} \left(16 \sqrt{3}-12\right),\frac{1}{3} \left(16 \sqrt{3}+12\right),\frac{1}{3} \left(18-8 \sqrt{3}\right)\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2020-5-28 08:01
最小值
\[8 \sqrt{3}+6\]
{x,y,FA,FD,FE}

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*以B为原点建立坐标系，则A(0,4)，假设FE=y，
   
3. 过F点做BC的平行线L，A点关于L的对称点G的坐标是(0,2*y-4),
   
4. D点的坐标是(16,8),AF+FD的最小值是GD的长度，因此
   
5. FA+FD+FE的最小值就是GD+FE的最小值
   
6. *)
   
7. GD=Sqrt[(16-0)^2+(8-2*y+4)^2]
   
8. (*求GD+FE的表达式*)
   
9. aaa=GD+y
   
10. (*求导数*)
    
11. bbb=D[aaa,y]//FullSimplify
    
12. (*求导数的零点*)
    
13. ans=Solve[bbb==0,{y}]
    
14. (*带入求和的最小值*)
    
15. aaa/.ans[[1]]//FullSimplify
    
16. (*或者直接下面的方法求最小值*)
    
17. Minimize[aaa,{y}]//FullSimplify
    

复制代码

求解结果
\[\left\{8 \sqrt{3}+6,\left\{y\to 6-\frac{8}{\sqrt{3}}\right\}\right\}\]

lsr314

由椭圆切线的性质，易知FE平分∠AFD,假设BE=x,EF=y,FD与BC的夹角为a，那么AF与BC的夹角也是a，所以$tana=(4-y)/x=(8-y)/(16-x)=(6-y)/8$,
而$FA+FD+FE=x/cosa+(16-x)/cosa+y=16/cosa+6-8tana=8*(2-sina)/cosa+6$,而$(2-sina)/cosa$的最小值可以通过圆的切线求得，夹角a=30°.所以最小值为$8sqrt(3)+6$.

hejoseph

以 $AD$ 为边做一正三角形 $ADP$，使点 $P$、直线 $BC$ 在线段 $AD$的两侧，作正三角形 $ADP$ 的外接圆，过点 $P$ 作 $BC$ 的垂线交外接圆于点 $F$，交直线 $BC$ 于点 $E$，则 $AF+DF+EF=PE$，此时 $AF+DF+EF$ 取得最小值，最小值只需要计算 $PE$ 的长度即可。
这个问题的结论跟三角形的费马点有关。

王守恩

记 FB=x，FE=y

已知：\(\D\frac{8}{x}=\frac{6-y}{4-y}\)

  求：\(\D\sqrt{16^2+(12-2y)^2}+y\)   的最小值。

谢谢mathematica！
由 9 楼：作 ∠A=∠D=60°，它们的交点即为所求。
\(FA+FD=\frac{16*2}{\sqrt{3}}\ \ \ FE=\frac{4+8}{2}-\frac{16/2}{\sqrt{3}}\)


补充内容 (2020-5-29 05:54):
主帖可归纳为：已知2点(A,D)1线(BC,E是BC上的点)，求到这2点1线距离和(FA+FD+FE)的最小值。答案：作 ∠A=∠D=60°，它们的交点即为所求。

补充内容 (2020-5-29 07:33):
解方程也行。(12-2y)：16=(4-y)：x=1：√3

hejoseph

hejoseph 发表于 2020-5-28 10:57
以 $AD$ 为边做一正三角形 $ADP$，使点 $P$、直线 $BC$ 在线段 $AD$的两侧，作正三角形 $ADP$ 的外接圆， ...

回复ls314的问题：
点评不能放很多文字，只能放回复里了。
解释那种方法得到的点就是最小值需要用到这个结论：三角形ADE的费马点为F（这里假定费马点存在，对于这个题目来说确实是存在的），并且按上图方法作出正三角形ABP，那么必定有AF+DF+EF=PE。点A、D、P为定点，点E为动点，在点E移动的时候AF+DF+EF取得最小值的点F就是三角形ADE的费马点，这个和于PE相等，PE最小当然是垂线的时候。


第一个图就是这个题目的情形。其他情形（字母与题目有所不同）第二个图题目要求的点F与A重合，第三个图题目要求的E、F重合于这个图中的P点。第三个图中如果AD的交点在外接圆之外，则所求的点F可能是过点C与直线垂直的垂线与外接圆的交点，或A、B中的一点，或是AD与直线的交点，需要进行讨论。

lsr314

hejoseph 发表于 2020-5-28 13:29
回复ls314的问题：
点评不能放很多文字，只能放回复里了。
解释那种方法得到的点就是最小值需要用到 ...

费马点存在的时候，确实是这样，因为F是费马点所以∠AFD=120°，所以PAD是正三角形。

mathematica

lsr314 发表于 2020-5-28 13:39
费马点存在的时候，确实是这样，因为F是费马点所以∠AFD=120°，所以PAD是正三角形。

我按照结果画出来的，就是费马点，说什么动态费马点，但是我也不太理解！

hujunhua

mathematica 发表于 2020-5-28 14:12
我按照结果画出来的，就是费马点，说什么动态费马点，但是我也不太理解！

如果动三角形AED的费马点Fm（三角形AED为动三角形，Fm自然就是所谓动态费马点）使得EFm不垂直于BC，那么E就没有到达使得AF+DF+EF最小的位置。
用反证法：假设E是使得AF+DF+EF最小的位置，由于EF⊥BC而EFm不⊥BC，所以F≠Fm.
由于Fm的最小性，使得AFm+DFm+EFm<AF+DF+EF,
设从Fm到BC的垂足为E’，则E'Fm<EFm，因而AFm+DFm+E'Fm<AFm+DFm+EFm,
结果AFm+DFm+E'Fm<AF+DF+EF, 即E', Fm是比E, F更小的位置。
这与E, F为最小位置的假设相矛盾。