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[提问] 如何求下面的问题的最小值?

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发表于 2020-5-28 07:59:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
AB=4
CD=8
BC=16
AB CD EF都垂直于BC
E F是两个动点,
求FA+FD+FE的最小值
抖音上看到的,确实是初中问题,也确实能用初等办法解答,
我也确实看了回答,但是确实没看懂!
大家看看怎么解答!
QQ截图20200528075116.png
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 楼主| 发表于 2020-5-28 08:01:52 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. ans=Minimize[{FA+FE+FD,(*目标函数*)
  3.     (*约数条件*)
  4.     FA^2==(x-0)^2+(y-4)^2&&
  5.     FD^2==(x-16)^2+(y-8)^2&&
  6.     FE==y&&
  7.     (*限制变量范围*)
  8.     FA>0&&FD>0&&FE>0
  9. },{x,y,FA,FD,FE}]//FullSimplify;
  10. Print["最小值为:"]
  11. ans[[1]]
  12. Print["{x,y,FA,FD,FE}"]
  13. RootApproximant@N[{x,y,FA,FD,FE}/.ans[[2]],300]
复制代码


最小值
\[8 \sqrt{3}+6\]
{x,y,FA,FD,FE}
变量取值是
\[\left\{8-2 \sqrt{3},\frac{1}{3} \left(18-8 \sqrt{3}\right),\frac{1}{3} \left(16 \sqrt{3}-12\right),\frac{1}{3} \left(16 \sqrt{3}+12\right),\frac{1}{3} \left(18-8 \sqrt{3}\right)\right\}\]
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 楼主| 发表于 2020-5-28 08:14:29 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-5-28 08:01
最小值
\[8 \sqrt{3}+6\]
{x,y,FA,FD,FE}
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. (*以B为原点建立坐标系,则A(0,4),假设FE=y,
  3. 过F点做BC的平行线L,A点关于L的对称点G的坐标是(0,2*y-4),
  4. D点的坐标是(16,8),AF+FD的最小值是GD的长度,因此
  5. FA+FD+FE的最小值就是GD+FE的最小值
  6. *)
  7. GD=Sqrt[(16-0)^2+(8-2*y+4)^2]
  8. (*求GD+FE的表达式*)
  9. aaa=GD+y
  10. (*求导数*)
  11. bbb=D[aaa,y]//FullSimplify
  12. (*求导数的零点*)
  13. ans=Solve[bbb==0,{y}]
  14. (*带入求和的最小值*)
  15. aaa/.ans[[1]]//FullSimplify
  16. (*或者直接下面的方法求最小值*)
  17. Minimize[aaa,{y}]//FullSimplify
复制代码

求解结果
\[\left\{8 \sqrt{3}+6,\left\{y\to 6-\frac{8}{\sqrt{3}}\right\}\right\}\]
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发表于 2020-5-28 10:20:23 | 显示全部楼层
由椭圆切线的性质,易知FE平分∠AFD,假设BE=x,EF=y,FD与BC的夹角为a,那么AF与BC的夹角也是a,所以$tana=(4-y)/x=(8-y)/(16-x)=(6-y)/8$,
而$FA+FD+FE=x/cosa+(16-x)/cosa+y=16/cosa+6-8tana=8*(2-sina)/cosa+6$,而$(2-sina)/cosa$的最小值可以通过圆的切线求得,夹角a=30°.所以最小值为$8sqrt(3)+6$.

点评

我觉得你与我在三楼的解法差不多!  发表于 2020-5-28 10:41
你比我聪明多了,但是这个有初中的解决办法,但是我却没看懂!  发表于 2020-5-28 10:34
不需要用到椭圆切线的性质,只要用到光反射性质即可  发表于 2020-5-28 10:29

评分

参与人数 1威望 +5 收起 理由
mathematica + 5 很给力!我再仔细看看过程!

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发表于 2020-5-28 10:57:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2020-5-28 11:03 编辑

1.png
以 $AD$ 为边做一正三角形 $ADP$,使点 $P$、直线 $BC$ 在线段 $AD$的两侧,作正三角形 $ADP$ 的外接圆,过点 $P$ 作 $BC$ 的垂线交外接圆于点 $F$,交直线 $BC$ 于点 $E$,则 $AF+DF+EF=PE$,此时 $AF+DF+EF$ 取得最小值,最小值只需要计算 $PE$ 的长度即可。
这个问题的结论跟三角形的费马点有关。

点评

证明里没有用到题目里三个长度的关系,这道题刚好点P在直线AB和CD之间,在某些情况下,点P是可以到AB的左边的,那PE就不是最小值了,所以PE最小不是总成立的  发表于 2020-5-28 13:24
取最小值的F为什么一定在外接圆上?  发表于 2020-5-28 13:11
由托勒密定理,可以知道FA+FD=PF,所以FA+FD+FE=PF+FE>=PE,这个时候取最小值  发表于 2020-5-28 11:58
需要解释为什么这个时候可以取最小值?  发表于 2020-5-28 11:50
截图放大一点,右下角被论坛标记盖住了!  发表于 2020-5-28 11:00
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发表于 2020-5-28 12:21:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-5-28 20:32 编辑

记 FB=x,FE=y

已知:\(\D\frac{8}{x}=\frac{6-y}{4-y}\)

  求:\(\D\sqrt{16^2+(12-2y)^2}+y\)   的最小值。

谢谢mathematica!
由 9 楼:作 ∠A=∠D=60°,它们的交点即为所求。
\(FA+FD=\frac{16*2}{\sqrt{3}}\ \ \ FE=\frac{4+8}{2}-\frac{16/2}{\sqrt{3}}\)


补充内容 (2020-5-29 05:54):
主帖可归纳为:已知2点(A,D)1线(BC,E是BC上的点),求到这2点1线距离和(FA+FD+FE)的最小值。答案:作 ∠A=∠D=60°,它们的交点即为所求。

补充内容 (2020-5-29 07:33):
解方程也行。(12-2y):16=(4-y):x=1:√3
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发表于 2020-5-28 13:29:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2020-5-28 16:30 编辑
hejoseph 发表于 2020-5-28 10:57
以 $AD$ 为边做一正三角形 $ADP$,使点 $P$、直线 $BC$ 在线段 $AD$的两侧,作正三角形 $ADP$ 的外接圆, ...


回复ls314的问题:
点评不能放很多文字,只能放回复里了。
解释那种方法得到的点就是最小值需要用到这个结论:三角形ADE的费马点为F(这里假定费马点存在,对于这个题目来说确实是存在的),并且按上图方法作出正三角形ABP,那么必定有AF+DF+EF=PE。点A、D、P为定点,点E为动点,在点E移动的时候AF+DF+EF取得最小值的点F就是三角形ADE的费马点,这个和于PE相等,PE最小当然是垂线的时候。

1.png
第一个图就是这个题目的情形。其他情形(字母与题目有所不同)第二个图题目要求的点F与A重合,第三个图题目要求的E、F重合于这个图中的P点。第三个图中如果AD的交点在外接圆之外,则所求的点F可能是过点C与直线垂直的垂线与外接圆的交点,或A、B中的一点,或是AD与直线的交点,需要进行讨论。

点评

看多了奇技淫巧,我还是觉得微积分牛逼,不管你是什么题目,都有统一的套路与招数!  发表于 2020-5-28 14:18

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参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
lsr314 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 很给力!

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发表于 2020-5-28 13:39:14 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2020-5-28 13:29
回复ls314的问题:
点评不能放很多文字,只能放回复里了。
解释那种方法得到的点就是最小值需要用到 ...

费马点存在的时候,确实是这样,因为F是费马点所以∠AFD=120°,所以PAD是正三角形。
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 楼主| 发表于 2020-5-28 14:12:06 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-5-28 13:39
费马点存在的时候,确实是这样,因为F是费马点所以∠AFD=120°,所以PAD是正三角形。

我按照结果画出来的,就是费马点,说什么动态费马点,但是我也不太理解!
QQ截图20200528141104.png

点评

我能依靠托勒密定理进行理解,但是不能依靠费马点进行理解  发表于 2020-5-28 14:12
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发表于 2020-5-28 16:52:04 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-5-28 14:12
我按照结果画出来的,就是费马点,说什么动态费马点,但是我也不太理解!

如果动三角形AED的费马点Fm(三角形AED为动三角形,Fm自然就是所谓动态费马点)使得EFm不垂直于BC,那么E就没有到达使得AF+DF+EF最小的位置。
用反证法:假设E是使得AF+DF+EF最小的位置,由于EF⊥BC而EFm不⊥BC,所以F≠Fm.
由于Fm的最小性,使得AFm+DFm+EFm<AF+DF+EF,
设从Fm到BC的垂足为E’,则E'Fm<EFm,因而AFm+DFm+E'Fm<AFm+DFm+EFm,
结果AFm+DFm+E'Fm<AF+DF+EF, 即E', Fm是比E, F更小的位置。
这与E, F为最小位置的假设相矛盾。

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