如何求下面的问题的最小值？

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-28 16:52
如果动三角形AED的费马点Fm（三角形AED为动三角形，Fm自然就是所谓动态费马点）使得EFm不垂直于BC，那么E ...

算了，还是微积分适合我，微积分好理解！

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-28 16:52
如果动三角形AED的费马点Fm（三角形AED为动三角形，Fm自然就是所谓动态费马点）使得EFm不垂直于BC，那么E ...

有时候感觉还是活在初等数学里面舒服，
像哥德巴赫猜想、孪生素数猜想这类问题，
太难了，做数学研究，太有挫折感了！

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-28 16:52
如果动三角形AED的费马点Fm（三角形AED为动三角形，Fm自然就是所谓动态费马点）使得EFm不垂直于BC，那么E ...

看三楼我的回复，就知道用微积分还是能手算的，我昨晚就自己手算完成的，
不过我现在习惯用mathematica软件代替我计算，
昨晚在家刷抖音，然后碰到这题，家里没电脑，无奈自己拿着纸和笔手算，
我发现还是能算出来结果的！当然了，为了加速手算，我还用了计算器帮忙，
我这个人，实在不喜欢手算！
人就应该把思考留给人脑，把计算留给电脑！
把人从计算中解放出来！

lsr314

已知两条直线夹角为a，点P不在这两条直线上，求平面上到两直线及点P距离之和最小的点M。
画了几个图，点M一般不是两直线的交点。

hujunhua

假定P在角内。
当0<a<60°时，驻点=P
当a=60°时，驻点是过P平行于角a平分线的线段上的任意点。
当60°<a<180°时，驻点即两直线的交点。

lsr314

当0<a<60°时，点M=P.
当60°<a<90°时，点M在离P较近的直线上，且MP与该直线的夹角=90°-a.如果这个条件在两直线交点的另一侧取得，则M=两直线交点。

dlpg070

hejoseph 发表于 2020-5-28 10:57
以 $AD$ 为边做一正三角形 $ADP$，使点 $P$、直线 $BC$ 在线段 $AD$的两侧，作正三角形 $ADP$ 的外接圆， ...

hejoseph 尺规作图方法是中学生可以理解和实现的初等方法
最漂亮的技巧是:用垂线PE代替了连线P和E
下面代码仿照hejoseph 尺规作图方法,给出根式解和数值解
与用Minimize的结果一致
有关解的讨论就是关于费马点的讨论,就是AB,AD,BC数值关系的讨论
利用这段代码,可以很容易做到

1. (*[=========\[Equal]
   
2. 提问] 如何求下面的问题的最小值？
   
3. hejoseph 尺规作图方法是中学生可以理解和实现的初等方法
   
4. 最漂亮的技巧是:用垂线PE代替了连线P和E
   
5. 下面代码仿照hejoseph 尺规作图方法,给出根式解和数值解
   
6.   与用Minimize的结果一致
   
7. *)
   
8. Clear["Global`*"];
   
9. AB = 4; CD = 8; BC = 16;
   
10. ang = ArcTan[(CD - AB)/BC];(* 画图用*)
    
11. (* 点的坐标*)
    
12. pA = {0, AB};
    
13. pB = {0, 0};
    
14. pC = {BC, 0};
    
15. pD = {BC, CD};
    
16. bias = 4/30;(* 画图用*)
    
17. AD = EuclideanDistance[pD, pA];
    
18. (* 尺规作图求费马点  *)
    
19. (* 第1步 以pA为原点 pD逆向旋转 Pi/3 得 P 点 *)
    
20. t1 = RotationTransform[\[Pi]/3, pA];
    
21. pP = t1[pD];
    
22. 
    
23. (* 第2步 求外接圆 circle*)
    
24. circle = CircleThrough[{pA, pD, pP}];
    
25. pO1 = circle[[1]];
    
26. (* 第3步 求P对于BC的垂足 foot 即 E点 垂线 line*)
    
27. base = InfiniteLine[{pB, pC}];
    
28. foot = RegionNearest[base, pP];
    
29. line = InfiniteLine[{pP, foot}];
    
30. pE = foot;
    
31. (* 第4步 求垂线与外接圆的交点 F点  即费马点 作图结束 *)
    
32. Clear[x, y];
    
33. sol = Solve[{x, y} \[Element] line \[And] {x, y} \[Element]
    
34.     circle, {x, y}]
    
35. pF = {x, y} /. sol[[1]]
    
36. (* 计算 最小值*)
    
37. PE = EuclideanDistance[pP, pE];
    
38. FA = EuclideanDistance[pF, pA]; FD = EuclideanDistance[pF, pD];
    
39. pO2 = Midpoint[{pA, pD}];
    
40. Print["最小值=", PE, "\n数值解=", N[PE], "\n=== end ==="]
    

复制代码

王守恩

dlpg070 发表于 2020-5-29 09:50
hejoseph 尺规作图方法是中学生可以理解和实现的初等方法
最漂亮的技巧是:用垂线PE代替了连线P和E
下 ...

谢谢 dlpg070 ！下面的解法相对简单(存在就是真理)。
纠结的是为什么可以这么解，希望大家都来补充。
1，主帖可归纳为：已知2点(A,D)1线(BC,E是BC上的点)，
   求到这2点1线距离和(FA+FD+FE)的最小值。
2，普通作图：作 ∠BAF=∠CDF=60°，它们的交点F即为所求。
3，简单方程：记 FE=y

         \(\D\frac{12-2y}{16}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

(FA+FD+FE)的最小值=\(\D\frac{16*2}{\sqrt{3}}+y=\frac{32}{\sqrt{3}}+\bigg(6-\frac{8}{\sqrt{3}}\bigg)=6+\frac{24}{\sqrt{3}}\)

dlpg070

王守恩 发表于 2020-5-29 13:52
谢谢 dlpg070 ！下面的解法相对简单。
纠结的是为什么可以这么解，希望大家都来补充。
1，主帖可归纳 ...

作图方法正确,太简单了
因为三角形ADE的费马点F有如下性质:
角AFD=120度,
角AFE=120度, =>角BAF=60度
角DFE=120度,=>角CDF=60度


但是,有时不需这样作图,
因为三角形ADE的每个顶角都小于120度,才需要作图求费马点
这取决于 AB CD BC 的数值关系

王守恩

dlpg070 发表于 2020-5-29 17:19
作图方法正确,太简单了
因为三角形ADE的费马点F有如下性质:
角AFD=120度,

我们是否可以这样说。(4,8,16可以变化，直角梯形不变)
当\(\D\frac{4+8}{16}>\frac{1}{\sqrt{3}}\)时，采用18楼的算法。
当\(\D\frac{4+8}{16}<\frac{1}{\sqrt{3}}\)时，采用(将军马饮水?)算法。