如何求下面的问题的最小值？

王守恩

dlpg070 发表于 2020-5-29 09:50
hejoseph 尺规作图方法是中学生可以理解和实现的初等方法
最漂亮的技巧是:用垂线PE代替了连线P和E
下 ...

谢谢 dlpg070！再来几个图试试。
04,8,16，最小值=\(\D6+8\sqrt{3}\) 已有(最小值_4_8_16_20200528.png)
05,7,16，最小值=\(\D6+8\sqrt{3}\)
06,6,16，最小值=\(\D6+8\sqrt{3}\)
07,5,16，最小值=\(\D6+8\sqrt{3}\)
08,4,16，最小值=\(\D6+8\sqrt{3}\)
09,3,16，最小值=\(\D6+8\sqrt{3}\)
10,2,16，最小值=\(\D6+8\sqrt{3}\)
11,1,16，最小值=\(\D6+8\sqrt{3}\)

也就是说：P 到 BC 的高度都是一样的！
算法就太简单了。好像有点不可思议，
您能再画几个图试试？谢谢！

dlpg070

王守恩 发表于 2020-5-30 18:14
谢谢 dlpg070！再来几个图试试。
04,8,16，最小值=\(\D6+8\sqrt{3}\) 已有(最小值_4_8_16_20200528.png) ...

考虑到对称性,设 AB<=CD
画出
AB=4 AD=8 BC=16  最小值_4_8_16_20200528.png
AB=5 AD=7 BC=16  最小值_5_7_16_20200528.png
AB=6 AD=6 BC=16  最小值_6_6_16_20200528.png
确实最小值如预期相等=PE= 6+8*Sqrt[3],但这只是美丽的特例

王守恩

dlpg070 发表于 2020-5-31 07:47
考虑到对称性,设 AB

答案是正整数的还真是不好找。
第1列可以拆分成2个数(比FE大)，FE,PE不会改变。
S3表示sqrt3
AB+CD， BC  ，FE，PE
      04，02S3，01，05
      09，03S3，03，09
      04，04S3，00，08
      09，05S3，02，12
      16，06S3，05，17
      09，07S3，01，15
      16，08S3，04，20
      25，09S3，08，26
      16，10S3，03，23
      25，11S3，07，29
      36，12S3，12，36
      25，13S3，06，32
      36，14S3，11，39
      49，15S3，17，47
      36，16S3，10，42
      49，17S3，16，50
      64，18S3，23，59
      49，19S3，15，53
      64，20S3，22，62
      81，21S3，30，72
      64，22S3，21，65

dlpg070

王守恩 发表于 2020-5-31 14:32
答案是正整数的还真是不好找。
第1列可以拆分成2个数(比FE大)，FE,PE不会改变。
S3表示sqrt3

完全初中生的解题方法(根据王守恩的作图法)
下面方法只用到
1 三角形ADE的费马点F的定义和性质
2 解F点坐标x,y的二元一次方程组
3 勾股定理

解题:不借助工具,不仅可以求得F坐标(x,y),还可以得到最小值min
设三角形ADE的费马点为 F
AD<=CD
1 过F做BC平行线 B1C1
   因为角AFE=120度 所以 角AFB1=30度 => 角BAF=60度
   因为角DFE=120度 所以 角DFC1=30度 => 角CDF=60度
2 列出如下F点坐标x,y的二元一次方程组
   x/(AB-y)-Sqrt[3]=0
  (BC-x)/(CD-y)-Sqrt[3]=0
  求解得:
  x=1/2 (Sqrt[3] AB+BC-Sqrt[3] CD)
  y=1/6 (3 AB-Sqrt[3] BC+3 CD)  
3 利用勾股定理算出最小值min
  min=AF+DF+y
     =Sqrt[AB^2+x^2]+Sqrt[(BC-x)^2+CD^2]+y
     
注意:         
    如果计算结果 x<0 或 y<0 表示需单独处理,此结果不可用
    因为有些复杂,另外分析

附图:

mathematica

dlpg070 发表于 2020-6-2 08:42
完全初中生的解题方法(根据王守恩的作图法)
下面方法只用到
1 三角形ADE的费马点F的定义和性质

直接求导数的办法也不是不可以！

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. f=Sqrt[(0-x)^2+(4-y)^2]+Sqrt[(16-x)^2+(8-y)^2]+y
   
3. (*为什么用GroebnerBasis这个函数后速度会快很多呢？不知道什么原因*)
   
4. ans=Solve[GroebnerBasis@D[f,{{x,y}}]==0,{x,y}]//FullSimplify
   
5. aaa=(f/.ans)//FullSimplify
   

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{x\to 8-2 \sqrt{3},y\to 6-\frac{8}{\sqrt{3}}\right\}\right\}\]

长度和=\(\left\{8 \sqrt{3}+6\right\}\)

王守恩

dlpg070 发表于 2020-6-2 08:42
完全初中生的解题方法(根据王守恩的作图法)
下面方法只用到
1 三角形ADE的费马点F的定义和性质

想一想，为什么这么简单！

\(a=4,b=8,c=16\)

\(\D\min=\frac{a+b+c\sqrt{3}}{2}=\frac{4+8+16\sqrt{3}}{2}\)

只要   \(\D\frac{a+b}{c}>\frac{1}{\sqrt{3}}\)

mathematica

王守恩 发表于 2020-6-5 10:47
想一想，为什么这么简单！

\(a=4,b=8,c=16\)

你的这个不难呀，最后的最小值就是这样，可以利用sin(60+角度)来证明你这个，
高一数学学完了就知道了

dlpg070

王守恩 发表于 2020-6-5 10:47
想一想，为什么这么简单！

\(a=4,b=8,c=16\)

我验算结束 ,你的条件应修正为(增加下限,上限不变,分别对应 x>0 ,y>0)
结论:
当 Sqrt[3]*(b-a) <= c < Sqrt[3]*(b+a) 时

最小值 win=(a+b+c*Sqrt[3])/2

王守恩

dlpg070 发表于 2020-6-5 20:38
我验算结束 ,你的条件应修正为(增加下限,上限不变,分别对应 x>0 ,y>0)
结论:
当 Sqrt[3]*(b-a)

谢谢 dlpg070！条件修正如下(a可以是0)

\(\D b\ge a\ge 0\ \ \ \frac{a+b}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\)

你的回复好像不理想，要不采用回复——高级模式(上方有显示)
譬如  你想要：Sqrt[3]*(b-a) <= c < Sqrt[3]*(b+a)
第 1 行：\sqrt{3}*(b-a)\le c < \sqrt{3}*(b+a)
第 2 行：\（第1行\）
把第 1 行塞到第 2 行里去，就是下面的效果

\(\D\sqrt{3}*(b-a)\le  c < \sqrt{3}*(b+a)\)

具体可查阅下方的《请粘贴 LaTeX 代码》

dlpg070

王守恩 发表于 2020-6-6 08:00
谢谢 dlpg070！条件修正如下(a可以是0)

\(\D b\ge a\ge 0\ \ \ \frac{a+b}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\) ...

谢谢 学会了
\(\sqrt{3}*(b-a)\le c < \sqrt{3}*(b+a)\)