初中题，三角形ABC中，BC=8.∠A=60°，如何求AB+AC/2的最大值？

mathematica

初中题，三角形ABC中，BC=8.∠A=60°，如何求AB+AC/2的最大值？

这是一个初中老师考我的题目，我真的不会。有谁会？

gxqcn

我感觉可用正弦定理，转化求为三角函数的极值

lsr314

在a^2=b^2+c^2-bc=64条件下求b/2+c极值，解得$b=32/sqrt(21),c=40/sqrt(21),b/2+c=8/3sqrt(21)$

hejoseph

若圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 相交于点 $A$、$B$，点 $P_1$ 在圆 $O_1$ 上，点 $P_2$ 在圆 $O_2$ 上，点 $A$、$P_1$、$P_2$、$P$ 共线，$t$ 是常数，\(\overrightarrow{P_2P}=t\overrightarrow{P_1P_2}\)，点 $P$ 的轨迹也是圆。
证明如下：作直线 $O_1O_2$，直线 $U_1U_2$ 于点 $Q$，使点 $P$、$Q$ 在直线 $AB$ 同侧，且 $\angle QAB=\angle QBA$，$\frac{U_1U_2}{U_2Q}=t$，则 $U_1U_2=V_1V_2$，$U_2Q=V_2Q$。因为 $\angle P_1V_1Q=\angle P_2V_2Q=\angle PAB$，所以 $P_1V_1$ 平行于 $P_2V_2$，又 $\frac{P_1P_2}{P_2P}=\frac{U_1U_2}{U_2Q}=\frac{V_1V_2}{V_2Q}$，所以 $P_1V_1$、$P_2V_2$、$PQ$ 都互相平行，所以点 $A$、$B$、$P$、$Q$ 共圆。因为取定一点 $P_1$ 时，点 $P_2$、$P$ 的位置是唯一确定的，所以点 $P$ 所确定的圆是唯一的。

markfang2050

解答：
a^2=b^2+c^2-bc=64条件下求b/2+c极大值，   
令b/2+c=m,c=m-b/2.
So:
b^2+m^2-mb+b^2/4-mb+b^2/2=64;
整理可得：
(7/4)*b^2-2mb+m^2-64=0;
三角形存在，必然b至少有一个解；
所以：方程的delta>=0.
(-2m)^2-4*(7/4)*( m^2-64)>=0;
m^2<=64*7/3;
-(8/3)*sqrt(21)=<m<=(8/3)*sqrt(21)
因为边长总是大于0（等于0退化为直线，角A=60无法保证）；
结论：0<m<=(8/3)*sqrt(21)；
即：0<AB+AC/2<=(8/3)*sqrt(21)；
Max(AB+AC/2)=(8/3)*sqrt(21)       
#Q.E.D

hejoseph

作正三角形 $A_1BC$，其中心是 $E$，$BC$ 的中点是 $D$，$P_1$ 是 $A_1B$ 的中点，$A_1P_1=A_1P_2$，根据上述结论 $AB+\frac{AC}{2}$ 的最大值就是$\triangle BCP_2$ 的外接圆直径。
\begin{align*}
&CP=2CQ=2CE=\frac{4}{\sqrt{3}}CD=\frac{16}{\sqrt{3}}\\
&BP=\sqrt{BC^2+CP^2}=\frac{8}{3}\sqrt{21}
\end{align*}

hujunhua

4#+6#的解法可以简化一下。要得到“P的轨迹是圆弧”无需那么大费周章。
设`AC=2c`, 延长`BA`至`P`, 使`AP=c`,
由相似三角形判定定理SAS知 `△ACP`是一个固定形状的三角形,
那么`∠P`是定值，所以动点`P`的轨迹亦为一圆弧`BPC`。
显然，`BP`最长时为圆弧`BPC`的直径`\D=\frac{8}{\sin∠P}`.
由余弦定理得`CP=\sqrt{AC^2+AP^2+AC\cdot AP}=\sqrt7c`
由正弦定理得`\sin∠P=\sqrt{3/7}`.
所以`BP_{max}=8\sqrt{7/3}`

gxqcn

gxqcn 发表于 2020-6-12 17:50
我感觉可用正弦定理，转化求为三角函数的极值

昨天有事，匆忙提到上述思路，现展开如下：

由正弦定理，\(\triangle ABC\) 的外接圆半径为：\(R =\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{8\sqrt3}{3}\)

仍由正弦定理，可得：

\(AB + AC/2 \\
=2R[\sin(C) + \sin(B)/2] \\
=R[2\sin(120\degree - B) + \sin(B)] \\
=R[2\sin(B +60\degree) + \sin(B)] \\
=R[2\sin(B)+\sqrt3\cos(B)] \\
=\sqrt7 R \sin(B+\theta) =\frac{8\sqrt{21}}{3}\sin(B+\theta)\)

其中，\(\theta =\arctan\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) \approx 40\degree53'36.22''\)

∴ 当 \(B=90\degree - \theta\) 时，\(AB + AC/2\) 取得最大值 \(\frac{8\sqrt{21}}{3}\)

倪举鹏

大家的方法都太复杂，我的方法才是解几何极值的通用方法。不用解条件极值函数。全部直接得满足的条件式子，多变量也可以得出多条件式的

王守恩

倪举鹏 发表于 2020-6-13 16:45
大家的方法都太复杂，我的方法才是解几何极值的通用方法。不用解条件极值函数。全部直接得满足的条件式子， ...

谢谢 倪举鹏！绝妙的想法！也可以归纳到 7 楼去。

1，在三角形ACP中，已知∠CAP=120，

\(\D\frac{AP}{AC}=\frac{\sin∠ACP}{\sin∠APC}=\frac{1}{2}\)，得：∠APC=40.893394649

2，在三角形BCP中，

\(\D\frac{\sin∠APC}{\sin∠BCP}=\frac{8}{BP}\)，得：BP=12.220201853

3，特别地，任意三角形BCP，只要∠BCP=90，恒有：

\(\D\frac{AP}{AC}=\frac{\sin∠ACP}{\sin∠APC}=\frac{\cos∠ACB}{\cos∠ABC}\)

但要小心，不搞混了：

\(\D\frac{AP}{AC}=\frac{\sin∠ACP}{\sin∠APC}=\frac{\cos∠ACB}{\cos∠ABC}≠\frac{AB}{AC}\)

或：\(\D\frac{AB}{AC}=\frac{\sin∠ACB}{\sin∠ABC}=\frac{\cos∠ACP}{\cos∠APC}≠\frac{AP}{AC}\)