一道高中数学竞赛题

〇〇

mathe

记$f(x)={x^2008}/{1-x^2009}$
用maxima计算$f''(x)=-{2*x^6024+4042104*x^4015+4030056*x^2006}/{x^6027-3*x^4018+3*x^2009-1}$,分母为$(x^2009-1)^3$
所以对于0<x<1,f''(x)>0,即函数为凸函数,用琴生不等式知道最小值在$x_1=x_2=...=x_2009$时取到.
当然如果用初等方法,那么只要改为证明对于两项的情况来证明

mathe

上面不对,好像函数挺复杂的

wayne

$f(x)={x^2008}/{1-x^2009}$ 的一阶和二阶导数均恒为非负。。。

mathe

看函数$f(x)={x^2008}/{1-x^2009}$的性质没有用
要看函数$f(x)={x^(2008/2009)}/{1-x}$的性质,这个函数的一阶导数为
$f'(x)={x+2008}/{2009x^(1/2009)(1-x)^2}$,在(0,1)这个函数先减后增,唯一最小值点为
$x=(4018*sqrt(252255)-2018040)/1005~=1/4020~=0.000248$
log(f'(x))的图如下:

而根据拉格朗日极值公式,我们知道取极值时所有点的导数相等,也就是所有的$x_i$中最多取两个不同的值.

mathe

我们要计算的是求$x_1+x_2+...+x_2010=1$,而且$S=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_2010)$最小.
极值情况之一是$x_1=x_2=...=x_2010=1/2010$,这时得到$S=2010*f(1/2010)=1.004292732141903131483849613$
假设对于其它的极值情况,有u个数小于$c=(4018*sqrt(252255)-2018040)/1005$,另外2010-u个大于c
我们可以通过数值计算 solve(X=10^-100,c,f'(X)-f'((1-u*X)/(2010-u)))来解出对应的X
比如u=2时,分别得到
$x_1=0.0001010072164471798145132823582$, $x_2010=0.0004977098022815096168170665593$
$S=1.004292812863225836906609702$
比如前面10个S的值为:
(10:28) gp > r[1]
%92 = 1.004292772463167838632247364
(10:28) gp > r[2]
%93 = 1.004292812863225836906609702
(10:28) gp > r[3]
%94 = 1.004292853342266589809388898
(10:28) gp > r[4]
%95 = 1.004292893900480087736767213
(10:28) gp > r[5]
%96 = 1.004292934538056849607922363
(10:28) gp > r[6]
%97 = 1.004292975255187924499749221
(10:28) gp > r[7]
%98 = 1.004293016052064893287057259
(10:28) gp > r[8]
%99 = 1.004293056928879870288263260
由此可见最小值是在$x_1=x_2=...=x_2010$时取到的

mathe

$(2009x^2009)*(1-x^2009)^2009<=({2009x^2009+2009*(1-x^2009)}/2010)^2010=(2009/2010)^2010$
于是我们得到
$x*(1-x^2009)<=2009/{root{2009}{2010^2010}}$
或者说
${x^2008}/{1-x^2009}>={root{2009}{2010^2010}x^2009}/2009$
将$x=x_1,x_2,...,x_2010$带入,得到
$\sum_{i=1}^2010{x_i^2008}/{1-x_i^2009}>=2010/2009root{2009}{2010}$

gxqcn

这道题，凭直觉应在各变量彼此相等时取得最值。
但用初等的方法却很容易缩放过头。

mathe

我前面就担心等号不在彼此都相等的时候取到,所以先用数学分析的方法分析了一下.
而根据7#的方法,可以证明$x_i$不超过2010个时,都可以在彼此都相等的时候取到等号.但是更加多的数目就不一定了.

wayne

当$x=\frac{502}{1009020+2009 \sqrt{252255}}=0.000248756$时，f'(x)取最小值，为：




再给一张取极值处的局部图：