理想聚焦透镜的形状

倪举鹏

一面是平面，一面是凸双曲面的透镜是理想透镜。那么双面是对称凸出来的曲面的理想透镜，曲面是什么曲线旋转而来的呢。以下方程怎么解，是有唯一解还是无数个解。下图中是向上的光聚焦在P点，用的等时原理列的方程。如果直接列折射方程，估计更难解

hujunhua

一面是平面，一面是凸双曲面的透镜可以截获无限大范围的光线，不需要处理边界。

对称凸透镜的边界怎么处理，你得仔细想想，会有帮助。你不可能搞个分段函数。

你的方程应该还差一条。

把方程列全了，先用数值法解一下，数值解会有很多启示的，尤其是边界。

wayne

有一个公式，叫做 制镜者方程:
$\frac{1}{f} = \left(\frac{n}{n_m}-1\right) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n-1)d}{n R_1 R_2} \right]$

此處
$f$是透鏡的焦距。
$n$是透鏡材料的[[折射率]]。
$n_m$是包圍在透鏡材料四周物質的折射率。
$R_1$是透鏡靠近光源這一側表面的曲率半徑。
$R_2$是透鏡遠離這一側表面的曲率半徑。
$d$是透鏡的厚度（沿著光軸上，透鏡兩個面之間的距離）

倪举鹏

谁解过多变量的微分方程呢，一般都是一个变量，多个函数的方程组很好解，多变量的函数方程组还是第一次遇到，不知道怎么解，虽然我也想最后可以解出两个自变量之间的函数关系式，但是无从下手

dlpg070

y1[x1]改为y1[x1,x2]
y2[x2]改为y2[x1,x2]
微分改为偏导
相应修改边界条件

倪举鹏

dlpg070 发表于 2020-8-28 18:05
y1[x1]改为y1[x1,x2]
y2[x2]改为y2[x1,x2]
微分改为偏导

可能不行，这是求平面两个曲线，偏微分是求曲面

wayne

楼主一点都没有同理心，你是想让别人根据截图 挨个儿的敲打字符吗， 这个我给 差评哈。

wayne

你这用错了NDSolve了啊。多元函数应该是$y_1[x_1,x_2]$,而不是$y_1[x_1]$

wayne

我怎么感觉你是在问 X-Y Problem

对于X-Y Problem的意思如下：

    有人想解决问题X，他觉得Y可能是解决X问题的方法，但是他不知道Y应该怎么做，于是他去问别人Y应该怎么做？

简而言之，没有去问怎么解决问题X，而是去问解决方案Y应该怎么去实现和操作

于是乎：

    热心的人们帮助并告诉这个人Y应该怎么搞，但是大家都觉得Y这个方案有点怪异。在经过大量地讨论和浪费了大量的时间后，热心的人终于明白了原始的问题X是怎么一回事。于是大家都发现，Y根本就不是用来解决X的合适的方案。

X-Y Problem最大的严重的问题就是：在一个根本错误的方向上浪费他人大量的时间和精力！

dlpg070

倪举鹏 发表于 2020-8-28 21:06
可能不行，这是求平面两个曲线，偏微分是求曲面

凭着一股犟劲,硬是从图片抠出代码(可能有误)
运行结果显示
  NDSolve::dvlen: The function y1[x1] does not have the same number of arguments as independent variables (2).
  表明代码有误:
  问题较复杂,根本不是多变量多函数的微分方程问题,愿有人能帮到你