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[求助] 理想聚焦透镜的形状

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发表于 2020-8-9 19:19:15 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一面是平面,一面是凸双曲面的透镜是理想透镜。那么双面是对称凸出来的曲面的理想透镜,曲面是什么曲线旋转而来的呢。以下方程怎么解,是有唯一解还是无数个解。下图中是向上的光聚焦在P点,用的等时原理列的方程。如果直接列折射方程,估计更难解
QQ图片20200809190735.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-8-9 22:03:50 | 显示全部楼层
一面是平面,一面是凸双曲面的透镜可以截获无限大范围的光线,不需要处理边界。

对称凸透镜的边界怎么处理,你得仔细想想,会有帮助。你不可能搞个分段函数。

你的方程应该还差一条。

把方程列全了,先用数值法解一下,数值解会有很多启示的,尤其是边界。

点评

两个自变量不独立,必须还有一个方程。  发表于 2020-8-11 06:09
以上方程只有一个函数,两个自变量  发表于 2020-8-10 19:01
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发表于 2020-8-11 07:59:06 | 显示全部楼层
有一个公式,叫做 制镜者方程:
$\frac{1}{f} = \left(\frac{n}{n_m}-1\right) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n-1)d}{n R_1 R_2} \right]$

此處
$f$是透鏡的焦距。
$n$是透鏡材料的[[折射率]]。
$n_m$是包圍在透鏡材料四周物質的折射率。
$R_1$是透鏡靠近光源這一側表面的曲率半徑。
$R_2$是透鏡遠離這一側表面的曲率半徑。
$d$是透鏡的厚度(沿著光軸上,透鏡兩個面之間的距離)

点评

这个看样子两个曲率互为函数,是球面镜。不是理想透镜  发表于 2020-8-11 08:35
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 楼主| 发表于 2020-8-27 10:52:47 | 显示全部楼层

多变量的微分方程

谁解过多变量的微分方程呢,一般都是一个变量,多个函数的方程组很好解,多变量的函数方程组还是第一次遇到,不知道怎么解,虽然我也想最后可以解出两个自变量之间的函数关系式,但是无从下手
QQ图片20200827104854.png
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发表于 2020-8-28 18:05:04 | 显示全部楼层
y1[x1]改为y1[x1,x2]
y2[x2]改为y2[x1,x2]
微分改为偏导
相应修改边界条件
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 楼主| 发表于 2020-8-28 21:06:46 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-8-28 18:05
y1[x1]改为y1[x1,x2]
y2[x2]改为y2[x1,x2]
微分改为偏导

可能不行,这是求平面两个曲线,偏微分是求曲面

点评

对任何人来说,都很苦难的, ^_^  发表于 2020-8-30 09:28
我没分析你的算法,只是想去除代码的bug 如果你贴出含错的代码,我愿调试,由图片转代码对于老人有点难  发表于 2020-8-28 21:54
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发表于 2020-8-30 09:27:04 | 显示全部楼层
楼主一点都没有同理心,你是想让别人根据截图 挨个儿的敲打字符吗, 这个我给 差评哈。
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发表于 2020-8-30 09:46:45 | 显示全部楼层
你这用错了NDSolve了啊。多元函数应该是$y_1[x_1,x_2]$,而不是$y_1[x_1]$

点评

你这是两个自变量影响一个函数,我的是一个自变量影响一个函数  发表于 2020-8-30 15:15
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发表于 2020-8-30 09:49:47 | 显示全部楼层
我怎么感觉你是在问 X-Y Problem

对于X-Y Problem的意思如下:

    有人想解决问题X,他觉得Y可能是解决X问题的方法,但是他不知道Y应该怎么做,于是他去问别人Y应该怎么做?

简而言之,没有去问怎么解决问题X,而是去问解决方案Y应该怎么去实现和操作

于是乎:

    热心的人们帮助并告诉这个人Y应该怎么搞,但是大家都觉得Y这个方案有点怪异。在经过大量地讨论和浪费了大量的时间后,热心的人终于明白了原始的问题X是怎么一回事。于是大家都发现,Y根本就不是用来解决X的合适的方案。

X-Y Problem最大的严重的问题就是:在一个根本错误的方向上浪费他人大量的时间和精力!

点评

下面就是原问题,描述很简单,就是转换不到教科书上的方程  发表于 2020-8-30 15:22
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发表于 2020-8-30 14:51:44 | 显示全部楼层
倪举鹏 发表于 2020-8-28 21:06
可能不行,这是求平面两个曲线,偏微分是求曲面

凭着一股犟劲,硬是从图片抠出代码(可能有误)
运行结果显示
  NDSolve::dvlen: The function y1[x1] does not have the same number of arguments as independent variables (2).
  表明代码有误:
  问题较复杂,根本不是多变量多函数的微分方程问题,愿有人能帮到你

点评

代码不能运行,方程有问题,只有8#的光路图正确,,静待本论坛有大神给出漂亮的解答吧 ,估计是2个轴对称的2次曲面(片段)  发表于 2020-8-31 08:45
代码是代码,方程是方程,只是尝试软件能不能解,软件不能解,不能说明方程有问题  发表于 2020-8-30 18:07
运行结果已经显示 y1[x1]]应该有2个独立变量,你只有1个变量,还能说代码无误?  发表于 2020-8-30 16:26
遇到新问题,都有犟劲,已经困扰半个月了  发表于 2020-8-30 15:32
应该不是代码有误,或许软件没有解这种方程的能力  发表于 2020-8-30 15:16
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