顶点在圆锥曲线上的正三角形中心的轨迹

lsr314

正三角形的三个顶点均在一条圆锥曲线 C 上（椭圆或者双曲线，对于双曲线，三个顶点可能在同一支或者分别在不同的分支上），求其中心的轨迹。
已知如果正三角形的两个顶点为$(x_1,x_2)$,那么第三个顶点的坐标为$x=(x_1+x_2)/2±\sqrt(3)/2(y_1-y_2),y=(y_1+y_2)/2∓\sqrt(3)/2(x_1-x_2)$.

wayne

圆锥曲线族有一个定义就是 到定点的距离与到定直线的距离的比值为定值。所以拿这个定义 就能一举证明所有的情况

设 定直线为准线$x=-p  = -a^2/c$,那么定点是焦点，接下来我们用离心率$e=c/a$和$p=a^2/c$来表达方程的标准形式(中心在原点，对称轴是坐标轴)，
对于椭圆，双曲线，焦点就是就是$(-pe^2, 0)$，方程是 $(x +p e^2)^2 + y^2 - e^2 (x+ p)^2=0$
对于抛物线，焦点就是$(p,0)$，方程就是$(x-p)^2+y^2-(x+p)^2=0$
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也可以设准线$x=p$，那么椭圆双曲线的焦点就是$(pe^2, 0)$，但是抛物线的焦点就是$(2p,0)$,这个时候的抛物线不是标准的开口向右的方程了，准线设成$x=-p$,那么就能直接得到抛物线方程$ y^2=4 p x$
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三个点的坐标用极坐标表达，幅角顺次增加$\frac{2\pi}{3}$，消元

1. f[x_,y_]:=(x - p e^2)^2 + y^2 - e^2 (x - p)^2;
   
2. eq=Eliminate[{f[x+r Cos[\[Theta]],y+r Sin[\[Theta]]]==0,f[x+r Cos[\[Theta]+2Pi/3],y+r Sin[\[Theta]+2Pi/3]]==0,f[x+r Cos[\[Theta]-2Pi/3],y+r Sin[\[Theta]-2Pi/3]]==0},r]/.And->List;
   
3. ans=Table[{i,TrigFactor[(eq[[i]]/.Equal->List).{1,-1}]},{i,Length[eq]}];
   

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这个时候消元 消不动，请教chyanog之后，把三角函数方程换成有理表达，并且用Groebner Basis消元，就可以瞬间解决掉了

1. f[x_,y_]:=(x-p)^2+y^2-(x+p)^2;
   
2. f[x_,y_]:=x^2+y^2-e^2(x+P)^2;
   
3. f[x_,y_]:=(x+p e^2)^2+y^2- e^2(x+p)^2;
   
4. n=3;Table[f[x+r Cos[\[Theta]+(2k \[Pi])/n],y+r Sin[\[Theta]+(2k \[Pi])/n]]==0,{k,n}]/.\[Theta]->2ArcTan[t]//TrigExpand//Simplify
   
5. GroebnerBasis[%,{},{r,t},MonomialOrder->EliminationOrder]//Factor

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得到方程$-e^6 p^2+e^8 p^2+16 x^2-40 e^2 x^2+33 e^4 x^2-9 e^6 x^2+16 y^2-8 e^2 y^2+e^4 y^2$,增根是原曲线$-e^2 p^2+e^4 p^2+x^2-e^2 x^2+y^2=0$,舍去， 稍微调整一下就是 $(1-e^2) (3 e^2-4)^2 (x/p)^2+ (e^2-4)^2 (y/p)^2 = e^6 (1-e^2) $，

1. Collect[-e^6 p^2 + e^8 p^2 + 16 x^2 - 40 e^2 x^2 + 33 e^4 x^2 -   9 e^6 x^2 + 16 y^2 - 8 e^2 y^2 + e^4 y^2, {x, y}, Factor]

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对于抛物线，得到方程$32 p^2 - 4 p x + 9 y^2=0$,增根是原曲线$4 p x - y^2=0$,舍去。


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还有一种是非标准方程的设定，好处是一个参数设定全部囊括了椭圆双曲线和抛物线，得到一个大一统的方程，直接设焦点是原点$(0,0)$,准线是$x=-P$,那么圆锥曲线方程就是$x ^2 + y^2 - e^2 (x + P)^2 = 0$ ,得到，
\[9 e^6 P^2-16 e^4 P^2+18 e^6 P x-48 e^4 P x+32 e^2 P x+9 e^6 x^2-33 e^4 x^2+40 e^2 x^2-e^4 y^2+8 e^2 y^2-16 x^2-16 y^2=0\]
经过hujunhua提醒，配方会失去抛物线，所以，配方前先分析一下：
对于抛物线，代进$e=1$，得到轨迹方程是 $-7 P^2+2 P x-9 y^2=0$

1. a (x-b)^2+c+d y^2/.Factor[SolveAlways[-16 e^4 P^2+9 e^6 P^2+32 e^2 P x-48 e^4 P x+18 e^6 P x-16 x^2+40 e^2 x^2-33 e^4 x^2+9 e^6 x^2-16 y^2+8 e^2 y^2-e^4 y^2==a (x-b)^2+c+d y^2&&a!=0,{x,y}]]

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对于椭圆和双曲线，$e!=1$,对表达式进行配方，得到：
\[\left(3 e^2-4\right)^2 \left(e^2 P+\left(e^2-1\right) x\right)^2-\left(e^2-1\right) \left(e^2-4\right)^2 y^2=e^6 P^2\]

mathe

你这曲线不是圆，是圆锥曲线

hujunhua

椭圆的答案，@数学星空在这里得到过。\[
\frac{x^2}{\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+3b^2}a\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{a^2-b^2}{3a^2+b^2}b\right)^2}=1
\]问题是@陈九章 在那里244#提出来过，并在245#给出了答案，星空在上面给出了过程。

类比可猜想双曲线的答案应该是\[
\frac{x^2}{\left(\frac{a^2+b^2}{a^2-3b^2}a\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{a^2+b^2}{3a^2-b^2}b\right)^2}=1
\]@wayne以原曲线为答案肯定有误，需要检查一下程序。

wayne

hujunhua 发表于 2020-8-13 16:05
椭圆的答案，@数学星空在这里得到过。\[
\frac{x^2}{\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+3b^2}a\right)^2}+\frac{y^ ...

将参数$e,p$转化成$a,b$的表达，代入大一统方程式： $(1-e^2) (3 e^2-4)^2 (x/p)^2+ (e^2-4)^2 (y/p)^2 = e^6 (1-e^2) $，椭圆和双曲线都完全一致！

1. e^6 (1-e^2) p^2/{(1-e^2) (3 e^2-4)^2,(e^2-4)^2}/.{e->Sqrt[1-b^2/a^2],p^2->a^4/(a^2-b^2)}//Factor
   
2. e^6 (1-e^2) p^2/{(1-e^2) (3 e^2-4)^2,(e^2-4)^2}/.{e->Sqrt[1+b^2/a^2],p^2->a^4/(a^2+b^2)}//Factor

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数学星空

可以继续探讨下面问题
https://bbs.emath.ac.cn/thread-4289-1-1.html

hujunhua

$(1-e^2) (3 e^2-4)^2 (x/p)^2+ (e^2-4)^2 (y/p)^2 = e^6 (1-e^2) $

将 `e=2`代入上式得 `x=±p`, 即双曲线     \(\D x^2-\frac{y^2}3=1\)  的内接正三角形的中心在两条准线上。
考虑在一条准线上任取一点为中心，如何确定那个三角形的问题，得到了一个漂亮的结果。
那个三角形所在的圆与双曲线已有3个交点，所以必有第4个交点，它在哪里？ 结果发现它是双曲线的一个顶点。

也就是说，在准线 `x=-1/2`上任取一点 A， 以之为中心，作过顶点(1,0)的圆，该圆与双曲线的其它3个交点构成 一个正三角形。

hujunhua

那么其它的情形下呢，第4交点在哪里，也是一个定点吗？

试了一下抛物线，第 4 交点不是一个定点。还没有找到其它可确定三角形的方法。

mathe

hujunhua 发表于 2020-8-15 05:08
$(1-e^2) (3 e^2-4)^2 (x/p)^2+ (e^2-4)^2 (y/p)^2 = e^6 (1-e^2) $

将 `e=2`代入上式得 `x=±p`, 即双 ...

这个结论是不是表明这个正三角形的一个顶点必然离(-1,0)或(1,0)非常接近？其最远距离可以达到多远？

hujunhua

mathe 发表于 2020-8-15 10:06
这个结论是不是表明这个正三角形的一个顶点必然离(-1,0)或(1,0)非常接近？其最远距离可以达到多远？

当中心A位于x轴上(-1/2,0)时，一个顶点为双曲线顶点B，另外两个顶点达到最大距离。

换言之，当中心在左准线上，必有一个顶点在以(-1/2,0)为圆心，过B的圆内。