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[原创] 椭圆内接N等边及N等角凸边形问题

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发表于 2012-5-6 19:43:25 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知椭圆:$x^2/m^2+y^2/n^2=1$,求内接于椭圆且分别满足下列条件的的凸$N$边形存在的条件:
1.凸$N$边形的每条边长均相等,并求出其长度$L(N)$?
2.凸$N$边形的每个角均相等,并求出其面积$S(N)?$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-5-6 21:12:52 | 显示全部楼层
存在性是显然的,并且都不唯一。
1、椭圆内接等边多边形  以任意顶点为起点,以一定步长在椭圆弧上跨步一周,如果步数小于N,就缩减步长,反之则增加步长,总是存在一个适当的步长,使得正好N步跨一周。
对于不同的起步点,L(N)应该不同。
2、椭圆内接等角多边形  以任意顶点为起点,以一定步长在椭圆弧上跨第一步,以后每步都转过(1-2/N)π弧度角跨到椭圆弧上(步长以跨到弧上为适当),跨过一周,如果步数小于N,就缩减起步步长,反之则增加起步长,总是存在一个适当的起步步长,使得正好N步跨一周。
对于不同的起步点,S(N)应该不同。
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发表于 2012-5-6 21:51:32 | 显示全部楼层
对于内接等边N边形,窃以为L(N)不值得研究,由于与位置有关,计算起来非常费力不讨好(得不到什么好结果)。我觉得值得探究一下的是周期性。记起点(acosθ,bsinθ)对应的L(N)为L(N,θ),  这应该是个周期函数,并且2π/T不小于N。

点评

咱们可以深入挖掘一下,是否一定是周期函数  发表于 2020-8-14 14:38
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发表于 2012-5-6 22:50:22 | 显示全部楼层
第二个问题,研究椭圆的外切等角多边形与第一个问题更为对偶一些。
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发表于 2012-5-7 00:10:18 | 显示全部楼层
N=3时,以椭圆上一点为已知顶点作椭圆的内接等边三角形,解不唯一,最多的有3解(有妙证),不知道这对周期的影响意味着什么。
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 楼主| 发表于 2012-5-8 00:28:10 | 显示全部楼层
以下是取$m=5,n=3$, 在椭圆上取$201$个样本点生成的正三角形
椭圆内接正三角形.jpg
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发表于 2012-5-8 10:50:43 | 显示全部楼层

N=3时由于解不唯一,麻团有点乱。
N=4时为内接菱形,对于每一个起点,解都是唯一的,所以应该是最好解决的。
$L(4,t)=sqrt{{((acost)^2+(bsint)^2)(a^4(acost)^2+b^4(bsint)^2)}/{a^2(acost)^2+b^2(bsint)^2}}*sqrt{a^2+b^2}/{ab}$
周期为π,a=4,b=3时图像如下(极坐标系)
捕获.JPG

点评

麻团,哈哈哈,笑的肚子疼  发表于 2020-8-14 12:09
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 楼主| 发表于 2012-5-9 21:08:27 | 显示全部楼层
对于N=3,我们可以得到如下结果:
起点为$(m*cos(theta),n*sin(theta))$
设$cos(theta)=(1-s^2)/(1+s^2),sin(theta)=(2*s)/(1+s^2)$
(1)若已知$m,n,theta$,求边长$a$则有
$256*m^4*n^4*(s^2+1)^2*(42*m^2*n^6*s^8+27*n^8*s^8-53*m^4*s^8*n^4-108*n^8*s^6+240*m^2*n^6*s^6+408*m^6*n^2*s^6-$
$476*m^4*n^4*s^6+162*n^8*s^4+210*n^4*s^4*m^4+432*m^8*s^4-144*m^6*n^2*s^4-564*m^2*n^6*s^4-108*n^8*s^2+240*m^2*n^6*s^2+$
$408*m^6*n^2*s^2-476*m^4*n^4*s^2+42*m^2*n^6+27*n^8-53*m^4*n^4)*a^2-48*n^2*m^2*(s^2+1)^4*(m-n)*(m+n)*$
$(108*m^8*s^2+75*m^6*n^2+294*m^6*n^2*s^2+75*m^6*n^2*s^4-65*m^4*n^4+390*m^4*n^4*s^2-65*n^4*s^4*m^4-$
$111*m^2*n^6-111*m^2*n^6*s^4-78*m^2*n^6*s^2-27*n^8*s^4+54*n^8*s^2-27*n^8)*a^4+9*(s^2+1)^6*(m-n)^2*(m+n)^2*(n^2+3*m^2)^2*$
$(3*n^2+m^2)^2*a^6-12288*n^6*m^6*(4*m^2*s^2+n^2*s^4-2*n^2*s^2+n^2)^3=0$

(2)若已知$m,n,a$,求起点$s$,则有
$(2268*a^6*m^2*n^10-2592*a^4*m^2*n^12+22272*a^4*m^8*n^6+378*a^6*m^4*n^8+104448*a^2*m^10*n^6-6264*a^6*m^6*n^6+$
$73728*m^6*n^12-148992*a^2*m^8*n^8+378*a^6*m^8*n^4-23328*a^4*m^10*n^4-147456*m^8*n^10-$
$13824*a^2*m^4*n^12+486*a^6*n^12+486*a^6*m^12+2268*a^6*m^10*n^2-5184*a^4*m^12*n^2+82944*a^2*m^6*n^10+$
$31296*a^4*m^6*n^8-22464*a^4*m^4*n^10)*s^2+(1215*a^6*n^12+589824*m^8*n^10+110592*a^2*m^12*n^4-184320*m^6*n^12-$
$589824*m^10*n^8-20736*a^4*m^12*n^2+1296*a^4*m^2*n^12-6912*a^2*m^4*n^12-203520*a^2*m^8*n^8-$
$53568*a^4*m^4*n^10+5670*a^6*m^2*n^10+28608*a^4*m^8*n^6-10752*a^2*m^6*n^10-60912*a^4*m^10*n^4+$
$5670*a^6*m^10*n^2+105312*a^4*m^6*n^8-15660*a^6*m^6*n^6+172032*a^2*m^10*n^6+945*a^6*m^8*n^4+$
$1215*a^6*m^12+945*a^6*m^4*n^8)*s^4+(-70272*a^4*m^4*n^10+7560*a^6*m^10*n^2-31104*a^4*m^12*n^2-$
$136192*a^2*m^8*n^8+5184*a^4*m^2*n^12-884736*m^8*n^10+1620*a^6*m^12-$
$165888*a^2*m^6*n^10+1260*a^6*m^4*n^8+152448*a^4*m^6*n^8+26112*a^4*m^8*n^6+245760*m^6*n^12-$
$20880*a^6*m^6*n^6+135168*a^2*m^10*n^6-786432*m^12*n^6-$
$82368*a^4*m^10*n^4+7560*a^6*m^2*n^10+1620*a^6*n^12+221184*a^2*m^12*n^4+1260*a^6*m^8*n^4+27648*a^2*m^4*n^12+$
$1179648*m^10*n^8)*s^6+(1215*a^6*n^12+589824*m^8*n^10+110592*a^2*m^12*n^4-184320*m^6*n^12-589824*m^10*n^8-$
$20736*a^4*m^12*n^2+1296*a^4*m^2*n^12-6912*a^2*m^4*n^12-203520*a^2*m^8*n^8-53568*a^4*m^4*n^10+5670*a^6*m^2*n^10+$
$28608*a^4*m^8*n^6-10752*a^2*m^6*n^10-60912*a^4*m^10*n^4+5670*a^6*m^10*n^2+105312*a^4*m^6*n^8-$
$15660*a^6*m^6*n^6+172032*a^2*m^10*n^6+945*a^6*m^8*n^4+1215*a^6*m^12+945*a^6*m^4*n^8)*s^8+(2268*a^6*m^2*n^10-$
$2592*a^4*m^2*n^12+22272*a^4*m^8*n^6+378*a^6*m^4*n^8+104448*a^2*m^10*n^6-6264*a^6*m^6*n^6+73728*m^6*n^12-$
$148992*a^2*m^8*n^8+378*a^6*m^8*n^4-23328*a^4*m^10*n^4-147456*m^8*n^10-13824*a^2*m^4*n^12+486*a^6*n^12+$
$(486*a^6*m^12+2268*a^6*m^10*n^2-5184*a^4*m^12*n^2+82944*a^2*m^6*n^10+31296*a^4*m^6*n^8-22464*a^4*m^4*n^10)*s^10+$
$a^2*m^4+6*m^2*n^2*a^2+9*a^2*n^4-48*n^4*m^2)*(9*a^2*m^4-6*m^2*n^2*a^2-3*a^2*n^4+16*n^4*m^2)^2*s^12+(a^2*m^4+$
$6*m^2*n^2*a^2+9*a^2*n^4-48*n^4*m^2)*(9*a^2*m^4-6*m^2*n^2*a^2-3*a^2*n^4+16*n^4*m^2)^2=0$
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 楼主| 发表于 2012-5-10 21:06:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 数学星空 于 2012-5-10 21:08 编辑

对于$N=4$,内接菱形(即等边)
得到如下结果:
起点为$(m*cos(theta),n*sin(theta))$
设$cos(theta)=(1-p^2)/(1+p^2),sin(theta)=(2*p)/(1+p^2)$
$(-2*p^4*m^4+m^4+4*n^4*p^2+m^4*p^8+8*p^4*n^4+4*p^6*n^4)*a^2+4*p^2*m^6-16*n^6*p^4-m^6-8*m^2*n^4*p^6-4*p^6*m^4*n^2-$
$4*n^2*m^4*p^2-6*p^4*m^6+4*p^6*m^6+10*p^4*m^4*n^2-p^8*m^6-p^8*m^4*n^2-8*n^4*m^2*p^2-n^2*m^4=0$
取$m=5,n=3$可以得到起点$P$与边长$a$之间的关系
$(625*a^2-21250)*p^8+(324*a^2+23800)*p^6+(-602*a^2-49164)*p^4+(324*a^2+23800)*p^2+625*a^2-21250=0 $
椭圆内接菱形3.jpg
可以得到存在四等边凸形的条件:$a=(34*(5*p^2+8*p+5)*(5*p^2-8*p+5))/(sqrt(21250*p^4-31484*p^2+21250)*(p^2+1))$
可以解得$5.830951897>a>5.144957557$
椭圆内接菱形.jpg
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发表于 2012-5-10 21:41:42 | 显示全部楼层
“存在内接菱形的条件”?提问题的角度很独特啊!
任意的椭圆,在任意的起点都存在内接菱形,所以一般不会有“存在内接菱形的条件”这种提法。
通常的提法是,对给定的椭圆,内接菱形之边长的取值范围。在7#中,这个取值范围非常直观,即那颗“”花生”的长半轴和短半轴(束腰半径)

N=4的结果还是以7#的表达方式更好吧。普遍来说,使用万能公式作代换并不是个好的选择,因为不利于表现周期性。

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