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[提问] 曲线x^4+y^4=1是否存在内接正五边形

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发表于 2020-8-25 11:52:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

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曲线$x^4+y^4=1$是否存在内接正五边形?
直觉上没有,在曲线上取一点,有一个自由度,过这一点作一个圆,圆心有两个自由度,总共三个自由度。但是正五边形需要五条边相等,需要四个自由度才行。
那么,对于曲线$x^4/a^4+y^4/b^4=1$,存在内接正五边形的条件只需要增加一个自由度,考虑相似性,固定$a=1$,当$b$满足什么条件的时候,存在内接正五边形?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-8-25 12:36:35 | 显示全部楼层
计算了一下,$x^4+y^4=1$ 不存在内接正五边形。一般情形还不清楚。

点评

列方程时候列错了,得到的结论错了  发表于 2020-8-26 13:57
假设对称么?  发表于 2020-8-26 00:00
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 楼主| 发表于 2020-8-25 12:44:56 | 显示全部楼层
应该是只对有限个b存在,需要求出b满足的方程
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发表于 2020-8-25 16:59:15 来自手机 | 显示全部楼层
比较有意思,假设有正五边形,边长可以快速计算出来
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发表于 2020-8-25 21:10:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2020-8-26 12:42 编辑

x^4 + b y^4 = 1 .png
解析解不好算,数值解不算难,b的近似值为 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[4]{0.88078159762445}}\approx 1.0322453660988928\),取倒数也可以,


  1. Clear[f];
  2. f[x_,y_]:=x^4 + b y^4 - 1;
  3. pt=Nest[Append[#,RotationTransform[2π/5-π,#[[-1]]]@#[[-2]]]&,{{x1,y1},{x2,y2}},3]//FullSimplify
  4. sol=NSolve[f@@@pt, {x1,x2,y1,y2,b},Reals];//AbsoluteTiming
复制代码

  1. pts={{-0.25077243071632316,-1.0312232806817894},{0.9615032416954962,-0.6373310374515713},{0.9615032416954962,0.6373310374515713},{-0.25077243071632316,1.0312232806817894},{-1.,0.}};
  2. ContourPlot[x^4 + 0.8807815976244506 y^4 == 1,{x,-1.5,1.5},{y,-1.5,1.5},Epilog->{RegionBoundary@Polygon[pts]}]
复制代码

补充内容 (2020-9-12 17:13):
生成正五边形的顶点这样更简单:NestList[RotationMatrix[2Pi/5].(#-{x1,y1})+{x2,y2}&,{x1,y1},4]

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牛逼得连注释都没有!  发表于 2020-8-26 08:04
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 楼主| 发表于 2020-8-25 22:31:19 | 显示全部楼层
chyanog 发表于 2020-8-25 21:10
解析解不好算,数值解不算难,b的近似值为0.8807815976244506,取倒数也可以

这个图形关于x轴对称,只需要两个自由度,而圆心横坐标以及b刚好也是两个变量,所以可以求出解来,很巧妙。不过应该还有其他解。
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 楼主| 发表于 2020-8-26 00:23:56 | 显示全部楼层
对于正五边形关于x轴对称的时候可以列出b的表达式,但是很难化简
5.jpg
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发表于 2020-8-26 10:26:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2020-8-26 12:51 编辑

解析解也算出来了,b是三次方程$128 b^3+885 b^2+1250 b-1875=0$的正实根。
根据对称性,设正五边形的五个顶点逆时针方向依次为{{-1, 0}, {x1, y1}, {x2, y2}, {x2, -y2}, {x1, -y1}},x1,y1,x2,y2是下面三次方程的正实根:
20200826124719.png
  1. sys=Last/@Factor[{x1^4+b y1^4-1,x2^4+b y2^4-1}/. {x1->-1-Sqrt[1/2 (5-Sqrt[5])] y2,y1->1/2 (1+Sqrt[5]) y2,x2->-1-Sqrt[5+2 Sqrt[5]] y2}];
  2. Last@Solve[FullSimplify@Resultant[Sequence@@sys,#]==0,#2,Reals,Method->{"UseNestedRoots"->False}]&@@@{{y2,b},{b,y2}}
  3. N[%]

  4. NSolve[#,Reals][[1,1]]&/@{
  5. 128 b^3+885 b^2+1250 b-1875,
  6. x1^3+(5+11 Sqrt[5])/20 x1^2-(-35+Sqrt[5])/40 x1+(3(-5+3 Sqrt[5]))/40 ,
  7. y1^3+(11Sqrt[10+2 Sqrt[5]])/20  y1^2+(45+9 Sqrt[5])/40 y1+(2Sqrt[25+10 Sqrt[5]])/25 ,
  8. x2^3+(5-11 Sqrt[5])/20 x2^2+(35+Sqrt[5])/40 x2-(3(5+3 Sqrt[5]))/40,
  9. y2^3+(11Sqrt[10-2 Sqrt[5]])/20  y2^2+(45-9 Sqrt[5])/40 y2+(2Sqrt[25-10 Sqrt[5]])/25
  10. }
复制代码

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不敢当  发表于 2020-8-26 15:23
多年以来的王者,未有被超越  发表于 2020-8-26 11:39
大师啊,用了Mathematica这么多年,感觉还是青铜玩家  发表于 2020-8-26 11:13
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-8-26 10:56:32 | 显示全部楼层
设五边形中心为$(x_0,y_0)$,一个顶点的幅角为$\theta_0$,顶点到中心距离为$r$, $w=\frac{2\pi}5$
于是五个顶点坐标为$(x_0+r\cos(k w+\theta_0), y_0+r\sin(k w+\theta_0)), k=0,1,2,3,4$
它们满足方程$x^4+\frac{y^4}{b^4}=1$,分别代入,
可以得出5条方程$(x_0+r\cos(k w+\theta_0))^4+ \frac{(y_0+r\sin(k w+\theta_0))^4}{b^4}=1$, 其中5个变量$x_0,y_0,r,b, \theta_0$. 于是理论上应该仅有有限组解。
特别的,累加5条方程,可以得到
$\sum_{k=0}^4(x_0+r\cos(k w+\theta_0))^4+ \frac{(y_0+r\sin(k w+\theta_0))^4}{b^4}=5$

由于\(\begin{cases}\sum_{k=0}^4\cos(kw+\theta_0)=\sum_{k=0}^4\sin(kw+\theta_0)=0\\ \sum_{k=0}^4 \cos^2(kw+\theta_0)=\sum_{k=0}^4 \sin^2(kw+\theta_0)=\frac{5}{2} \\\sum_{k=0}^4\cos^3(kw+\theta_0)=\sum_{k=0}^4\sin^3(kw+\theta_0)=0\\\sum_{k=0}^4 \cos^4(kw+\theta_0)=\sum_{k=0}^4 \sin^4(kw+\theta_0)=\frac{15}{8} \end{cases}\)

得出
$5(x_0^4+\frac{y_0^4}{b^4})+15r^2(x_0^2+\frac{y_0^2}{b^4})+\frac{15r^4}{8}(1+\frac{1}{b^4})=5$
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发表于 2020-8-26 11:07:02 | 显示全部楼层
chyanog 发表于 2020-8-26 10:26
b是方程$128 x^3+885 x^2+1250 x-1875=0$的正实根
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*子函数,A2(x2,y2),A1(x1,y1),绕着(x2,y2)旋转A2A1向量,顺时针转3/5*Pi得到A3点*)
  3. fun[pt2_,pt1_]:=FullSimplify[RotationMatrix[3/5*Pi].(pt1-pt2)+pt2]
  4. pt1={x1,y1}
  5. pt2={x2,y2}
  6. (*依次得到五边形上面的另外三个点*)
  7. pt3=fun[pt2,pt1]
  8. pt4=fun[pt3,pt2]
  9. pt5=fun[pt4,pt3]
  10. (*定义曲线方程*)
  11. gun[x_,y_]:=x^4+y^4-1
  12. ans=NSolve[
  13.     {
  14.         gun@@pt1==0,
  15.         gun@@pt2==0,
  16.         gun@@pt3==0,
  17.         gun@@pt4==0,
  18.         gun@@pt5==0
  19.     },{x1,y1,x2,y2},Reals
  20. ]
复制代码


为什么我的代码不行?我的思路什么地方有问题?
为什么我的是五个方程解四个未知数呢?

点评

说明x^4+y^4=1不存在内接正五边形  发表于 2020-8-26 14:38
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