曲线x^4+y^4=1是否存在内接正五边形

lsr314

曲线$x^4+y^4=1$是否存在内接正五边形？
直觉上没有，在曲线上取一点，有一个自由度，过这一点作一个圆，圆心有两个自由度，总共三个自由度。但是正五边形需要五条边相等，需要四个自由度才行。
那么，对于曲线$x^4/a^4+y^4/b^4=1$，存在内接正五边形的条件只需要增加一个自由度，考虑相似性，固定$a=1$,当$b$满足什么条件的时候，存在内接正五边形？

hejoseph

计算了一下，$x^4+y^4=1$ 不存在内接正五边形。一般情形还不清楚。

lsr314

应该是只对有限个b存在，需要求出b满足的方程

mathe

比较有意思，假设有正五边形，边长可以快速计算出来

chyanog

解析解不好算，数值解不算难，b的近似值为 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[4]{0.88078159762445}}\approx 1.0322453660988928\)，取倒数也可以，

1. Clear[f];
   
2. f[x_,y_]:=x^4 + b y^4 - 1;
   
3. pt=Nest[Append[#,RotationTransform[2π/5-π,#[[-1]]]@#[[-2]]]&,{{x1,y1},{x2,y2}},3]//FullSimplify
   
4. sol=NSolve[f@@@pt, {x1,x2,y1,y2,b},Reals];//AbsoluteTiming

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1. pts={{-0.25077243071632316,-1.0312232806817894},{0.9615032416954962,-0.6373310374515713},{0.9615032416954962,0.6373310374515713},{-0.25077243071632316,1.0312232806817894},{-1.,0.}};
   
2. ContourPlot[x^4 + 0.8807815976244506 y^4 == 1,{x,-1.5,1.5},{y,-1.5,1.5},Epilog->{RegionBoundary@Polygon[pts]}]

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补充内容 (2020-9-12 17:13):
生成正五边形的顶点这样更简单：NestList[RotationMatrix[2Pi/5].(#-{x1,y1})+{x2,y2}&,{x1,y1},4]

lsr314

chyanog 发表于 2020-8-25 21:10
解析解不好算，数值解不算难，b的近似值为0.8807815976244506，取倒数也可以

这个图形关于x轴对称，只需要两个自由度，而圆心横坐标以及b刚好也是两个变量，所以可以求出解来，很巧妙。不过应该还有其他解。

lsr314

对于正五边形关于x轴对称的时候可以列出b的表达式，但是很难化简

chyanog

解析解也算出来了，b是三次方程$128 b^3+885 b^2+1250 b-1875=0$的正实根。
根据对称性，设正五边形的五个顶点逆时针方向依次为{{-1, 0}, {x1, y1}, {x2, y2}, {x2, -y2}, {x1, -y1}}，x1,y1,x2,y2是下面三次方程的正实根：

1. sys=Last/@Factor[{x1^4+b y1^4-1,x2^4+b y2^4-1}/. {x1->-1-Sqrt[1/2 (5-Sqrt[5])] y2,y1->1/2 (1+Sqrt[5]) y2,x2->-1-Sqrt[5+2 Sqrt[5]] y2}];
   
2. Last@Solve[FullSimplify@Resultant[Sequence@@sys,#]==0,#2,Reals,Method->{"UseNestedRoots"->False}]&@@@{{y2,b},{b,y2}}
   
3. N[%]
   
4. 
   
5. NSolve[#,Reals][[1,1]]&/@{
   
6. 128 b^3+885 b^2+1250 b-1875,
   
7. x1^3+(5+11 Sqrt[5])/20 x1^2-(-35+Sqrt[5])/40 x1+(3(-5+3 Sqrt[5]))/40 ,
   
8. y1^3+(11Sqrt[10+2 Sqrt[5]])/20  y1^2+(45+9 Sqrt[5])/40 y1+(2Sqrt[25+10 Sqrt[5]])/25 ,
   
9. x2^3+(5-11 Sqrt[5])/20 x2^2+(35+Sqrt[5])/40 x2-(3(5+3 Sqrt[5]))/40,
   
10. y2^3+(11Sqrt[10-2 Sqrt[5]])/20  y2^2+(45-9 Sqrt[5])/40 y2+(2Sqrt[25-10 Sqrt[5]])/25
    
11. }

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mathe

设五边形中心为$(x_0,y_0)$,一个顶点的幅角为$\theta_0$,顶点到中心距离为$r$, $w=\frac{2\pi}5$
于是五个顶点坐标为$(x_0+r\cos(k w+\theta_0), y_0+r\sin(k w+\theta_0)), k=0,1,2,3,4$
它们满足方程$x^4+\frac{y^4}{b^4}=1$,分别代入，
可以得出5条方程$(x_0+r\cos(k w+\theta_0))^4+ \frac{(y_0+r\sin(k w+\theta_0))^4}{b^4}=1$, 其中5个变量$x_0,y_0,r,b, \theta_0$. 于是理论上应该仅有有限组解。
特别的，累加5条方程，可以得到
$\sum_{k=0}^4(x_0+r\cos(k w+\theta_0))^4+ \frac{(y_0+r\sin(k w+\theta_0))^4}{b^4}=5$

由于\(\begin{cases}\sum_{k=0}^4\cos(kw+\theta_0)=\sum_{k=0}^4\sin(kw+\theta_0)=0\\ \sum_{k=0}^4 \cos^2(kw+\theta_0)=\sum_{k=0}^4 \sin^2(kw+\theta_0)=\frac{5}{2} \\\sum_{k=0}^4\cos^3(kw+\theta_0)=\sum_{k=0}^4\sin^3(kw+\theta_0)=0\\\sum_{k=0}^4 \cos^4(kw+\theta_0)=\sum_{k=0}^4 \sin^4(kw+\theta_0)=\frac{15}{8} \end{cases}\)

得出
$5(x_0^4+\frac{y_0^4}{b^4})+15r^2(x_0^2+\frac{y_0^2}{b^4})+\frac{15r^4}{8}(1+\frac{1}{b^4})=5$

mathematica

chyanog 发表于 2020-8-26 10:26
b是方程$128 x^3+885 x^2+1250 x-1875=0$的正实根

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*子函数,A2(x2,y2),A1(x1,y1),绕着(x2,y2)旋转A2A1向量,顺时针转3/5*Pi得到A3点*)
   
3. fun[pt2_,pt1_]:=FullSimplify[RotationMatrix[3/5*Pi].(pt1-pt2)+pt2]
   
4. pt1={x1,y1}
   
5. pt2={x2,y2}
   
6. (*依次得到五边形上面的另外三个点*)
   
7. pt3=fun[pt2,pt1]
   
8. pt4=fun[pt3,pt2]
   
9. pt5=fun[pt4,pt3]
   
10. (*定义曲线方程*)
    
11. gun[x_,y_]:=x^4+y^4-1
    
12. ans=NSolve[
    
13.     {
    
14.         gun@@pt1==0,
    
15.         gun@@pt2==0,
    
16.         gun@@pt3==0,
    
17.         gun@@pt4==0,
    
18.         gun@@pt5==0
    
19.     },{x1,y1,x2,y2},Reals
    
20. ]
    

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为什么我的代码不行？我的思路什么地方有问题？
为什么我的是五个方程解四个未知数呢？