四边三连等比，求DE+DF的取值范围

hujunhua

转自https://bbs.cnool.net/10643957.html，这里没有回复，不用去看了。
仿佛本坛讨论过这个小题，但没有搜到，难道我记错了？

chyanog

DE+DF的最大值好像是$sqrt(5 + 2sqrt(2))/2$，此时$CD=\frac{1}{4} \left(2+9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{6}\right)$

lsr314

目测∠ABC=135°时最大

mathematica

chyanog 发表于 2020-9-4 15:35
DE+DF的最大值好像是$sqrt(5 + 2sqrt(2))/2$，此时$CD=\frac{1}{4} \left(2+9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. out=Maximize[{DE+DF,
   
3.     DE^2==(xd-xe)^2+(yd-ye)^2&&
   
4.     DF^2==(xd-(3-Sqrt[3]))^2+(yd-0)^2&&
   
5.     (*两个向量垂直且根号3倍的关系*)
   
6.     (xa-xd)==-Sqrt[3]*(yd-0)&&
   
7.     (ya-yd)==Sqrt[3]*(xd-2)&&
   
8.     {xa,ya}=={(Sqrt[3]+1)*xe,(Sqrt[3]+1)*ye}&&
   
9.     xa^2+ya^2==1&&
   
10.     DE>0&&DF>0
    
11.     },
    
12.     {DE,DF,xa,ya,xe,ye,xd,yd}];
    
13. ans={out[[1]],DE,DF,xa,ya,xe,ye,xd,yd}/.out[[2]];
    
14. aaa=N[ans,2000];
    
15. Print["显示最大值"]
    
16. bbb=RootApproximant[aaa]//ToRadicals//FullSimplify
    
17. N[bbb]
    
18. 
    
19. Clear["Global`*"];
    
20. out=Minimize[{DE+DF,
    
21.     DE^2==(xd-xe)^2+(yd-ye)^2&&
    
22.     DF^2==(xd-(3-Sqrt[3]))^2+(yd-0)^2&&
    
23.     (*两个向量垂直且根号3倍的关系*)
    
24.     (xa-xd)==-Sqrt[3]*(yd-0)&&
    
25.     (ya-yd)==Sqrt[3]*(xd-2)&&
    
26.     {xa,ya}=={(Sqrt[3]+1)*xe,(Sqrt[3]+1)*ye}&&
    
27.     xa^2+ya^2==1&&
    
28.     DE>0&&DF>0
    
29.     },
    
30.     {DE,DF,xa,ya,xe,ye,xd,yd}];
    
31. ans={out[[1]],DE,DF,xa,ya,xe,ye,xd,yd}/.out[[2]];
    
32. aaa=N[ans,2000];
    
33. Print["显示最小值"]
    
34. bbb=RootApproximant[aaa]//ToRadicals//FullSimplify
    
35. N[bbb]
    

复制代码

最大值
\[\left\{\frac{1}{4} \left(9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{6}+2\right),\frac{1}{4} \sqrt{3} \left(-\sqrt{2}+\sqrt{6}+4\right),\sqrt{6-3 \sqrt{3}}+\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{4} \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right),\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2},\frac{1}{4} \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}+6\right),\frac{1}{4} \left(2 \sqrt{3}+\sqrt{\sqrt{3}+2}\right)\right\}\]
数值化
{3.57691, 2.18034, 1.39658, -0.707107, 0.707107, -0.258819, 0.258819, 1.62941, 1.34899}

最小值
\[\left\{\frac{1}{2} \left(2 \sqrt{3}+\sqrt{6-3 \sqrt{3}}-1\right),\frac{1}{4} \sqrt{3} \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}+4\right),\sqrt{6-3 \sqrt{3}}-\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2},\frac{1}{4} \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right),\frac{1}{8} \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}+12\right),\frac{1}{4} \left(2 \sqrt{3}-\sqrt{\sqrt{3}+2}\right)\right\}\]

数值化
{1.68034, 1.28376, 0.396575, 0.707107, -0.707107, 0.258819, -0.258819, 1.37059, 0.383062}

lsr314

啊，∠DFC=75°对的。不过我发现不管AB:BC比值如何，DE+DF都在∠ABC=135°时最大。

wayne

设$D$点坐标是${0,0}$,$A$点坐标是${\sqrt{3}t,0}$,$B$点坐标是${x,y}$,$C$点坐标是${0,t}$，那么$E,F$坐标也很好算，然后设$s=DE+DF$，消元得到方程
\[s^6 \left(-64 \sqrt{3} t^2+320 \sqrt{3}-688\right)+s^4 \left(384 t^4+720 \sqrt{3} t^2-1200 t^2-6696 \sqrt{3}+12060\right)+s^2 \left(-2688 \sqrt{3} t^6+4608 t^6+5280 \sqrt{3} t^4-9408 t^4+22680 \sqrt{3} t^2-39432 t^2-5856 \sqrt{3}+9740\right)+16 s^8=32256 \sqrt{3} t^8-55872 t^8-104928 \sqrt{3} t^6+181728 t^6+108024 \sqrt{3} t^4-187152 t^4-36964 \sqrt{3} t^2+63948 t^2+3968 \sqrt{3}-6979\]

1. {a,b,c,d}={{Sqrt[3]t,0},{x,y},{0,t},{0,0}};
   
2. e=(a+Sqrt[3]b)/(1+Sqrt[3]);f=(b+Sqrt[3]c)/(1+Sqrt[3]);
   
3. Eliminate[{s==(Sqrt[Total[(d-e)^2]]+Sqrt[Total[(d-f)^2]]),Total[(a-b)^2]==1,Total[(c-b)^2]==4},{x,y}]

复制代码

恩，得到了$s$和$t$的双偶次 多项式方程，即闭合曲线，进而求最值

1. Maximize[{s,
   
2.    16 s^4 + s^3 (-688 + 320 Sqrt[3] - 64 Sqrt[3] t^2) +
   
3.       s^2 (12060 - 6696 Sqrt[3] - 1200 t^2 + 720 Sqrt[3] t^2 +
   
4.          384 t^4) +
   
5.       s (9740 - 5856 Sqrt[3] - 39432 t^2 + 22680 Sqrt[3] t^2 -
   
6.          9408 t^4 + 5280 Sqrt[3] t^4 + 4608 t^6 -
   
7.          2688 Sqrt[3] t^6) == -6979 + 3968 Sqrt[3] + 63948 t^2 -
   
8.       36964 Sqrt[3] t^2 - 187152 t^4 + 108024 Sqrt[3] t^4 +
   
9.       181728 t^6 - 104928 Sqrt[3] t^6 - 55872 t^8 +
   
10.       32256 Sqrt[3] t^8 && s > 0 && t > 0}, t] // RootReduce

复制代码

$DE+DF$的最大值就是 $\frac{1}{4} \left(9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{6}+2\right) = 3.57691$, 此时$CD = \frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}+5} =1.39897 $
最小值是 $\sqrt{\frac{1}{2} \left(41-23 \sqrt{3}\right)} = 0.762506$,此时$CD= \frac{3}{\sqrt{3 \sqrt{3}+\sqrt{30 \sqrt{3}-20}+5}}=0.75355$ 或者$CD = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{3}+\sqrt{30 \sqrt{3}-20}+5\right)} = 1.40755..$

补充一个$s$关于$CD=t$的关系图如下：


画图代码：

1. ContourPlot[16 s^8+s^6 (-688+320 Sqrt[3]-64 Sqrt[3] t^2)+s^4 (12060-6696 Sqrt[3]-1200 t^2+720 Sqrt[3] t^2+384 t^4)+s^2 (9740-5856 Sqrt[3]-39432 t^2+22680 Sqrt[3] t^2-9408 t^4+5280 Sqrt[3] t^4+4608 t^6-2688 Sqrt[3] t^6)==-6979+3968 Sqrt[3]+63948 t^2-36964 Sqrt[3] t^2-187152 t^4+108024 Sqrt[3] t^4+181728 t^6-104928 Sqrt[3] t^6-55872 t^8+32256 Sqrt[3] t^8,{t,0,2},{s,0,4},PlotPoints->100]

复制代码

wayne

所以说，从曲线图分成三段闭合曲线 看得出来，这题的最小值 是有鬼的。 而且原题是问取值范围，而不是求最值，所以应该要给出三段区间，分别是
\[\sqrt{\frac{1}{2} \left(41-23 \sqrt{3}\right)} \leq s  \leq \frac{1}{4} \left(-3 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}+\sqrt{6}-2\right),  s \in [0.762506, 0.783763]\]
\[\frac{1}{4} \left(-3 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}+\sqrt{6}-2\right)< s \leq \frac{1}{4} \left(-9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}+3 \sqrt{6}+2\right),  s\in(0.783763, 0.887188]\]
\[\frac{1}{2} \left(2 \sqrt{3}+\sqrt{6-3 \sqrt{3}}-1\right)\leq s \leq \frac{1}{4} \left(9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{6}+2\right), s \in [1.68034, 3.57691]\]

mathe

如图，显然结果应该是单位圆上的点到两个给定点距离的加权和，这是一个连续函数，结果应该是前一段连续区间才合理

wayne

确实，我这种消元 因为没有对点$B:{x,y}$在第一象限做限定，所以会产生增根的。

计算发现，$B$点可以跑到线段$AD$的上侧

hujunhua

线段DE的两端都是动点，不便于用几何方法进行讨论，故可以作一个平行四边形DEHF，将DE平移至FH。
固定坐标B(0,0), C(2,0), 视A为在单位圆`x^2+y^2=1`上的动点。
显然，D的轨迹是A所在单位圆以C为中心的位似缩放和旋转, 缩放比=CD/CA=1/2, 旋转角=∠ACD=-π/3. 记这个变换为 p.
I =p(B)为D的轨迹的圆心，△BIC∽△ADC, CI=BA=1。
在AC上取点G，使得分比(ACG)=(ABE)=(BCF)=AD/DC=√3，则有平行四边形BEGF，和DG是∠ADC的角平分线，且DG//=BH。
△ADC亦可看作△BIC绕中心C的一个缩放旋转，记这个变换为q.  angle(q)=∠BCA=∠ICD
显然 q(CIF)=(CDG), 所以∠CIF=∠CDG=45°，∠CFI=75°。
取点 J 构成平行四边形FIBJ, BJ//=IF, 又BH//=DG, q(CIF)=(CDG), →△BHJ∽△CDI→JH=BJ/2。
所以 H的轨迹是圆 J。

因此FD的最长和最短位置都通过圆心 I，FH的最长和最短位置都通过圆心 J。
题设的巧合就在于，两者刚好同时达到最长和最短，所以之和也就同时达到最值。
下面加以说明：
由于∠CBA=∠CID=∠BJH，所以分别将BC, IC, JB视为动半径BA，ID，JH的起始位置，三者是同步扫角的。
易得扫过135°时，FID共线，FJH共线，DF与FH同时达到最长
扫过315°时（即-45°，亦即135°的反方向），FDI共线，FHJ共线，DF与FH同时达到最短。