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楼主: hujunhua

[转载] 四边三连等比,求DE+DF的取值范围

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发表于 2020-9-5 21:25:51 | 显示全部楼层
好吧,按照 两位老大一样的设定坐标轴,$B(0,0), C(2,0)$, 那么可以计算得到轨迹是两个圆:$(2 x-3)^2+\left(2 y\pm\sqrt{3}\right)^2 =1$。
然后极值情况跟前面7#计算的结果 是一样的, 角CBA取得极值的时候 是 正切是1, 所以是45度或者 180+45度。


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当A转到 BC 下侧时,就是A, E与D处于BC异侧的图形。所以允许A旋转一周,包含了两种情况。  发表于 2020-9-6 17:57
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-6 09:12:07 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-5 21:25
好吧,按照 两位老大一样的设定坐标轴,B(0,0), C(2,0), 可以计算得到$D$点的轨迹是两个圆:$(2 x-3)^2+\l ...

求D点轨迹!
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*以B点为原点建立坐标系,C(2,0),A在半径等于1的圆上*)
  3. (*消除变量,得到D点的轨迹*)
  4. Eliminate[{
  5.     (*两个向量垂直且根号3倍的关系*)
  6.     (xa-xd)==-Sqrt[3]*(yd-0)&&
  7.     (ya-yd)==Sqrt[3]*(xd-2)&&
  8.     (*A点在半径等于1的圆上*)
  9.     xa^2+ya^2==1
  10. },{xa,ya}
  11. ]
复制代码


\[-4 \text{yd}^2+4 \sqrt{3} \text{yd}-11=4 \text{xd}^2-12 \text{xd}\]

点评

还有一个解,只要换下正负号就可以了  发表于 2020-9-6 09:13
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发表于 2020-9-6 10:19:56 | 显示全部楼层
根据10# hujunhua的结论,我们可以对8#的复数计算方法进行快速数值验算(直接符号计算有点麻烦)
其中|DF|=|(0.25000000000000000000000000000000000000 - 0.43301270189221932338186158537646809174*I)*z + (0.23205080756887729352744634150587236694 + 0.86602540378443864676372317075293618347*I)|=0.5|z + (-1.2679491924311227064725536584941276331 + 1.2679491924311227064725536584941276330*I)|
|DE|=|(-0.11602540378443864676372317075293618347 - 0.43301270189221932338186158537646809174*I)*z + (1.5000000000000000000000000000000000000 + 0.86602540378443864676372317075293618347*I)|=0.44828773608402676205194552448080071094|z + (-2.7320508075688772935274463415058723669 + 2.7320508075688772935274463415058723669*I)|
其中(-1.2679491924311227064725536584941276331 + 1.2679491924311227064725536584941276330*I) 和 (-2.7320508075688772935274463415058723669 + 2.7320508075688772935274463415058723669*I) 的的确确幅角相同,而且都在单位圆外部,所以两者取最值的条件相同。
符号计算两者表达式分别为\(\frac{1}{2} \abs{z-(3-\sqrt{3})(1-i)}\)和\(\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\abs{z-(1+\sqrt{3})(1-i)}\)
由于\(|z|=1\),两者分别在\(z=\frac{\sqrt{2}}2(1-i)\)和\(z=\frac{\sqrt{2}}2(-1+i)\)时同时取到最小值和最大值

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发表于 2020-9-6 11:58:17 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-9-6 10:19
根据10# hujunhua的结论,我们可以对8#的复数计算方法进行快速数值验算(直接符号计算有点麻烦)
其中|DF| ...

用我四楼的办法最简单最粗暴了!
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发表于 2020-9-6 15:39:44 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-9-5 20:23
线段DE的两端都是动点,不便于用几何方法进行讨论,故可以作一个平行四边形DEHF,将DE平移至FH。
固定坐标 ...

没怎么看懂你的办法,我觉得还是微积分简单好理解!
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 楼主| 发表于 2020-9-6 17:22:33 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-9-4 16:37
啊,∠DFC=75°对的。不过我发现不管AB:BC比值如何,DE+DF都在∠ABC=135°时最大。


是的,因为不管AB:BC的比值如何,最在值都在过圆心处取得,所以∠ABC=180°-∠CDG(10#图),只要∠CDG=45°不变,∠ABC=135°就不变。
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 楼主| 发表于 2020-9-6 18:09:47 | 显示全部楼层

最大位置

最大位置

最小位置

最小位置

从这两个最值图可以看出为什么DE ( 即FH ) 和 DF 同时达到最大和最小了。
这是因为∠BJF=∠CIF=45°,按我们的作图,本来是∠BJF=∠BIF 的(平行四边形的对角相等)
因为IF是∠BIC的角平分线,才使得∠BJF=∠CIF=45°。
而BA,ID,JH是同步扫角的,所以最值就同步了。
原来巧合正是因为三连等比。与AB:BC=2:1, 以及比=√3这些特殊值都没有关系。

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发表于 2020-9-6 19:26:17 | 显示全部楼层
同时取得极大极小,这个威武。
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