四边三连等比，求DE+DF的取值范围

wayne

好吧，按照 两位老大一样的设定坐标轴，$B(0,0), C(2,0)$， 那么可以计算得到轨迹是两个圆：$(2 x-3)^2+\left(2 y\pm\sqrt{3}\right)^2 =1$。
然后极值情况跟前面7#计算的结果 是一样的， 角CBA取得极值的时候 是 正切是1， 所以是45度或者 180+45度。

mathematica

wayne 发表于 2020-9-5 21:25
好吧，按照 两位老大一样的设定坐标轴，B(0,0), C(2,0)， 可以计算得到$D$点的轨迹是两个圆：$(2 x-3)^2+\l ...

求D点轨迹！

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*以B点为原点建立坐标系，C(2,0),A在半径等于1的圆上*)
   
3. (*消除变量，得到D点的轨迹*)
   
4. Eliminate[{
   
5.     (*两个向量垂直且根号3倍的关系*)
   
6.     (xa-xd)==-Sqrt[3]*(yd-0)&&
   
7.     (ya-yd)==Sqrt[3]*(xd-2)&&
   
8.     (*A点在半径等于1的圆上*)
   
9.     xa^2+ya^2==1
   
10. },{xa,ya}
    
11. ]
    

复制代码

\[-4 \text{yd}^2+4 \sqrt{3} \text{yd}-11=4 \text{xd}^2-12 \text{xd}\]

mathe

根据10# hujunhua的结论，我们可以对8#的复数计算方法进行快速数值验算（直接符号计算有点麻烦）
其中|DF|=|(0.25000000000000000000000000000000000000 - 0.43301270189221932338186158537646809174*I)*z + (0.23205080756887729352744634150587236694 + 0.86602540378443864676372317075293618347*I)|=0.5|z + (-1.2679491924311227064725536584941276331 + 1.2679491924311227064725536584941276330*I)|
|DE|=|(-0.11602540378443864676372317075293618347 - 0.43301270189221932338186158537646809174*I)*z + (1.5000000000000000000000000000000000000 + 0.86602540378443864676372317075293618347*I)|=0.44828773608402676205194552448080071094|z + (-2.7320508075688772935274463415058723669 + 2.7320508075688772935274463415058723669*I)|
其中(-1.2679491924311227064725536584941276331 + 1.2679491924311227064725536584941276330*I) 和 (-2.7320508075688772935274463415058723669 + 2.7320508075688772935274463415058723669*I) 的的确确幅角相同，而且都在单位圆外部，所以两者取最值的条件相同。
符号计算两者表达式分别为\(\frac{1}{2} \abs{z-(3-\sqrt{3})(1-i)}\)和\(\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\abs{z-(1+\sqrt{3})(1-i)}\)
由于\(|z|=1\),两者分别在\(z=\frac{\sqrt{2}}2(1-i)\)和\(z=\frac{\sqrt{2}}2(-1+i)\)时同时取到最小值和最大值

mathematica

mathe 发表于 2020-9-6 10:19
根据10# hujunhua的结论，我们可以对8#的复数计算方法进行快速数值验算（直接符号计算有点麻烦）
其中|DF| ...

用我四楼的办法最简单最粗暴了！

mathematica

hujunhua 发表于 2020-9-5 20:23
线段DE的两端都是动点，不便于用几何方法进行讨论，故可以作一个平行四边形DEHF，将DE平移至FH。
固定坐标 ...

没怎么看懂你的办法，我觉得还是微积分简单好理解！

hujunhua

lsr314 发表于 2020-9-4 16:37
啊，∠DFC=75°对的。不过我发现不管AB:BC比值如何，DE+DF都在∠ABC=135°时最大。

是的，因为不管AB:BC的比值如何，最在值都在过圆心处取得，所以∠ABC=180°-∠CDG（10#图），只要∠CDG=45°不变，∠ABC=135°就不变。

hujunhua

最大位置

最小位置

从这两个最值图可以看出为什么DE ( 即FH ) 和 DF 同时达到最大和最小了。
这是因为∠BJF=∠CIF=45°，按我们的作图，本来是∠BJF=∠BIF 的（平行四边形的对角相等）
因为IF是∠BIC的角平分线，才使得∠BJF=∠CIF=45°。
而BA，ID，JH是同步扫角的，所以最值就同步了。
原来巧合正是因为三连等比。与AB:BC=2:1, 以及比=√3这些特殊值都没有关系。

wayne

同时取得极大极小，这个威武。