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[求助] 一道高中附加题,如果a^2+b^2+c^2=1,求(a-b)(b-c)(c-a)的最小值

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发表于 2020-9-7 14:50:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一道高中附加题,如果a^2+b^2+c^2=1,求(a-b)(b-c)(c-a)的最小值。
注意是高中题目,

然后如果a, b, c都是非负数,求最小值,

不用微积分的办法,用高中的办法,如何求解!


补充内容 (2020-9-8 17:27):
题目一共两问,第一问不限制变量abc的正负值,第二问限制abc都是非负数
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-7 15:33:36 | 显示全部楼层
我只会拉格朗日乘子法,但是这是高中题

点评

为什么高中就不能用了:)  发表于 2020-9-7 15:52
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发表于 2020-9-7 15:55:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2020-9-7 15:59 编辑
mathematica 发表于 2020-9-7 15:33
我只会拉格朗日乘子法,但是这是高中题


第一问,只需要注意到,在设$a\le b\le c$时,$(a-b)(b-c)\le\frac{(a-c)^2}4$而$|a-c|$在$|a|=|c|=\sqrt\frac1 2$时取到最小值
第二问,只需要注意到,在设$0\le a\le b\le c$时一定有a=0,从而题目变成了已知$b^2+c^2=1$的情况下求$bc(c-b)$的最大值
也就是求$sin(x)cos(x)(sin(x)-cos(x))$的最大值
可以积化和差和差化积来回化
也可以直接求导
反正都不麻烦

点评

你的思路是对的,我在后面给你的思路给了一个详细的补充!详细的说明,容易理解的  发表于 2020-9-9 15:32
当时懒得判断符号就直接写绝对值了  发表于 2020-9-9 11:34
写错了,是没结果,不是没过程,看到你第一问的答案错了,就没仔细看。你ac绝对值等,这是不对的,ac必须异号  发表于 2020-9-9 08:38
何止没过程,连答案都没……而且积化和差求不出来那个神奇的东西  发表于 2020-9-8 19:55
没过程!  发表于 2020-9-8 17:33
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 楼主| 发表于 2020-9-7 15:58:16 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2020-9-7 15:55
第一问,只需要注意到,在设$a

求得是最小值,还有你用软件验证了你的答案了吗?我感觉你的答案不对

点评

……最小值是0啊,a<=b<=c的情况下,a-b<=0,b-c<=0,c-a>=0,()()()>=0是没问题的,等号成立只需要两个相等,这是幼儿园的题目吗[狗头]  发表于 2020-9-7 16:00
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发表于 2020-9-7 15:59:38 | 显示全部楼层
首先由于轮换对称,我们可以分成两种情况
i) $a\ge b\ge c\ge 0$
ii $a \ge c\ge b\ge 0$
其中第二种情况$(a-b)(b-c)(c-a)$非负,不会取到最小值,所以我们只需要考虑第一种情况,
这时可以设$a=b+u, b=c+v$,于是我们得出$a=c+u+v$,其中$u\ge 0, v\ge 0$, 代入得出在约束$(c+u+v)^2+(c+v)^2+c^2=1$时求$uv(u+v)$的最大值。
显然,任何时候减少c可以增加u和v的值,所以我们得出取最值时$c=0$,于是转化为两个变量的极值问题
已知$(u+v)^2+v^2=1, u\ge 0, v\ge 0$, 求$uv(u+v)$的最大值。
设$u=\lambda v$,代入得出$((1+\lambda)^2+1)v^2=1$, 求$\lambda (\lambda+1) v^3$的最大值
也就是求单变量函数$f(\lambda)=\frac{\lambda (\lambda+1)}{((1+\lambda)^2+1)^{3/2}}$的最大值,其中$\lambda \ge 0$

点评

应该是求最大值,最大值时,只要交换任意两个自变量,就能得到最大值,而对原先函数求绝对值时,交换变量不改变绝对值的大小,所以可以假设出变量的大小来求函数的最大值,具体见我在后面的回复  发表于 2020-9-10 15:06
……忽略轮换对称的情况了……(a-b)(b-c)(c-a)的确可以为负  发表于 2020-9-7 16:06
我感觉题目错了,(a-b)(b-c)(c-a)非负,所以只要a=b,(a-b)(b-c)(c-a)就能取到最小值0……我感觉题目可能想让我们求最大值  发表于 2020-9-7 16:05
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发表于 2020-9-7 16:10:26 | 显示全部楼层
最后一步不知道答案是很难想到的,但是知道答案后就比较容易了,因为
$f^2(x)=\frac{x^2(x+1)(x+1)}{(x^2+(x+1)+(x+1))^3}\le\frac{x^2(x+1)(x+1)}{27x^2(x+1)(x+1)}=\frac 1{27}$
也即是原题目的最小值为$-\frac{\sqrt{3}}{9}$
这时$\lambda=\frac{\sqrt{5}+1}2$,$c=0,b=v=\frac1{\sqrt{2+2\lambda+\lambda^2}}=\frac1{\sqrt{3+3\lambda}},a=u+v=(1+\lambda)v=\sqrt{\frac{1+\lambda}3}$
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 楼主| 发表于 2020-9-7 16:23:58 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-9-7 16:10
最后一步不知道答案是很难想到的,但是知道答案后就比较容易了,因为
$f^2(x)=\frac{x^2(x+1)(x+1)}{(x^2+ ...

你似乎解决了第二问,第一问没解决,第一问abc可以是负数值
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发表于 2020-9-7 16:34:44 | 显示全部楼层
我以为只有第二问题,第一问也不难,可能计算稍微麻烦些,我们同样有约束
$(c+u+v)^2+(c+v)^2+c^2=1$时求$uv(u+v)$的最大值,其中$u\ge 0, v\ge 0$
于是前面的约束可以改为$3c^2+2(u+2v)c+(u+v)^2+v^2-1=0$,
所以根据二次方程根的判别式,可以有$(u+2v)^2 \ge 3(u^2+2uv+2v^2-1)$,
即$u^2+uv+v^2 \le \frac{3}{2}$时求$uv(u+v)$的最大值,其中$u\ge 0, v\ge 0$
显然可以要求$u^2+uv+v^2= \frac{3}{2}$时求$uv(u+v)$的最大值,其中$u\ge 0, v\ge 0$
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发表于 2020-9-7 16:42:02 | 显示全部楼层
上面的条件就是$(u+v)^2-uv=\frac{3}{2} \ge (u+v)^2-(\frac{u+v}2)^2=\frac{3}{4} (u+v)^2$,所以得出$u+v\le \sqrt{2}$,
于是$uv(u+v)=((u+v)^2-\frac{3}{2})(u+v)\le (2-\frac{3}{2})\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}2$
其中等号在$u=v=\frac{\sqrt{2}}2$时取到,这时c的取值需要解上面二次方程取到,而原式最小值为$-\frac{\sqrt{2}}2$
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 楼主| 发表于 2020-9-7 20:00:24 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2020-9-7 16:34
我以为只有第二问题,第一问也不难,可能计算稍微麻烦些,我们同样有约束
$(c+u+v)^2+(c+v)^2+c^2=1$时求$ ...

为什么u v都是非负数呢?有可能是都是负数呀
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