已知a^2+b^2+c^2=1，求(a-b)(b-c)(c-a)的最小值

mathematica

一道高中附加题。

已知$a^2+b^2+c^2=1$，求$(a-b)(b-c)(c-a)$的最小值。
1）当   $0≤a,b,c≤1$时；
2）当$-1≤a,b,c≤1$时。

不用微积分，限于高中的办法！

mathematica

我只会拉格朗日乘子法，但是这是高中题

.·.·.

mathematica 发表于 2020-9-7 15:33
我只会拉格朗日乘子法，但是这是高中题

第一问，只需要注意到，在设$a\le b\le c$时，$(a-b)(b-c)\le\frac{(a-c)^2}4$而$|a-c|$在$|a|=|c|=\sqrt\frac1 2$时取到最小值
第二问，只需要注意到，在设$0\le a\le b\le c$时一定有a=0，从而题目变成了已知$b^2+c^2=1$的情况下求$bc(c-b)$的最大值
也就是求$sin(x)cos(x)(sin(x)-cos(x))$的最大值
可以积化和差和差化积来回化
也可以直接求导
反正都不麻烦

mathematica

.·.·. 发表于 2020-9-7 15:55
第一问，只需要注意到，在设$a

求得是最小值，还有你用软件验证了你的答案了吗？我感觉你的答案不对

mathe

首先由于轮换对称，我们可以分成两种情况
i) $a\ge b\ge c\ge 0$
ii $a \ge c\ge b\ge 0$
其中第二种情况$(a-b)(b-c)(c-a)$非负，不会取到最小值，所以我们只需要考虑第一种情况，
这时可以设$a=b+u, b=c+v$,于是我们得出$a=c+u+v$,其中$u\ge 0, v\ge 0$, 代入得出在约束$(c+u+v)^2+(c+v)^2+c^2=1$时求$uv(u+v)$的最大值。
显然，任何时候减少c可以增加u和v的值，所以我们得出取最值时$c=0$,于是转化为两个变量的极值问题
已知$(u+v)^2+v^2=1, u\ge 0, v\ge 0$, 求$uv(u+v)$的最大值。
设$u=\lambda v$,代入得出$((1+\lambda)^2+1)v^2=1$, 求$\lambda (\lambda+1) v^3$的最大值
也就是求单变量函数$f(\lambda)=\frac{\lambda (\lambda+1)}{((1+\lambda)^2+1)^{3/2}}$的最大值，其中$\lambda \ge 0$

mathe

最后一步不知道答案是很难想到的，但是知道答案后就比较容易了，因为
$f^2(x)=\frac{x^2(x+1)(x+1)}{(x^2+(x+1)+(x+1))^3}\le\frac{x^2(x+1)(x+1)}{27x^2(x+1)(x+1)}=\frac 1{27}$
也即是原题目的最小值为$-\frac{\sqrt{3}}{9}$
这时$\lambda=\frac{\sqrt{5}+1}2$,$c=0,b=v=\frac1{\sqrt{2+2\lambda+\lambda^2}}=\frac1{\sqrt{3+3\lambda}},a=u+v=(1+\lambda)v=\sqrt{\frac{1+\lambda}3}$

mathematica

mathe 发表于 2020-9-7 16:10
最后一步不知道答案是很难想到的，但是知道答案后就比较容易了，因为
$f^2(x)=\frac{x^2(x+1)(x+1)}{(x^2+ ...

你似乎解决了第二问，第一问没解决，第一问abc可以是负数值

mathe

我以为只有第二问题，第一问也不难，可能计算稍微麻烦些，我们同样有约束
$(c+u+v)^2+(c+v)^2+c^2=1$时求$uv(u+v)$的最大值，其中$u\ge 0, v\ge 0$
于是前面的约束可以改为$3c^2+2(u+2v)c+(u+v)^2+v^2-1=0$,
所以根据二次方程根的判别式，可以有$(u+2v)^2 \ge 3(u^2+2uv+2v^2-1)$,
即$u^2+uv+v^2 \le \frac{3}{2}$时求$uv(u+v)$的最大值，其中$u\ge 0, v\ge 0$
显然可以要求$u^2+uv+v^2= \frac{3}{2}$时求$uv(u+v)$的最大值，其中$u\ge 0, v\ge 0$

mathe

上面的条件就是$(u+v)^2-uv=\frac{3}{2} \ge (u+v)^2-(\frac{u+v}2)^2=\frac{3}{4} (u+v)^2$,所以得出$u+v\le \sqrt{2}$,
于是$uv(u+v)=((u+v)^2-\frac{3}{2})(u+v)\le (2-\frac{3}{2})\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}2$
其中等号在$u=v=\frac{\sqrt{2}}2$时取到,这时c的取值需要解上面二次方程取到，而原式最小值为$-\frac{\sqrt{2}}2$

mathematica

mathe 发表于 2020-9-7 16:34
我以为只有第二问题，第一问也不难，可能计算稍微麻烦些，我们同样有约束
$(c+u+v)^2+(c+v)^2+c^2=1$时求$ ...

为什么u v都是非负数呢？有可能是都是负数呀