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楼主: mathematica

[求助] 一道高中附加题,如果a^2+b^2+c^2=1,求(a-b)(b-c)(c-a)的最小值

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发表于 2020-9-7 21:29:07 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-9-7 20:00
为什么u v都是非负数呢?有可能是都是负数呀

这是其中一种情况
另一种情况,最小值是0已经求出来了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-8 10:06:06 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2020-9-7 21:29
这是其中一种情况
另一种情况,最小值是0已经求出来了

我自己明白了,这题最大值最小值互为相反数,调换一下变量顺序,就能得到最大值,最大值调换变量顺序就能得到最大值
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-9-8 15:22:08 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-9-8 10:06
我自己明白了,这题最大值最小值互为相反数,调换一下变量顺序,就能得到最大值,最大值调换变量顺序就能 ...

拉格朗日乘子法!
  1. Clear["Global`*"];
  2. f=(a-b)*(b-c)*(c-a)+x*(a^2+b^2+c^2-1);
  3. ans=FullSimplify@Solve[D[f,{{a,b,c,x}}]==0,{a,b,c,x}];
  4. Grid[ans]
  5. f/.ans
复制代码


\[\begin{array}{cccc}
a\to 0 & b\to \frac{1}{\sqrt{2}} & c\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & x\to -\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\
a\to 0 & b\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & c\to \frac{1}{\sqrt{2}} & x\to \frac{3}{2 \sqrt{2}} \\
a\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & b\to \frac{1}{\sqrt{2}} & c\to 0 & x\to \frac{3}{2 \sqrt{2}} \\
a\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & b\to 0 & c\to \frac{1}{\sqrt{2}} & x\to -\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\
a\to \frac{1}{\sqrt{2}} & b\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & c\to 0 & x\to -\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\
a\to \frac{1}{\sqrt{2}} & b\to 0 & c\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & x\to \frac{3}{2 \sqrt{2}} \\
a\to -\frac{1}{\sqrt{3}} & b\to -\frac{1}{\sqrt{3}} & c\to -\frac{1}{\sqrt{3}} & x\to 0 \\
a\to \frac{1}{\sqrt{3}} & b\to \frac{1}{\sqrt{3}} & c\to \frac{1}{\sqrt{3}} & x\to 0 \\
\end{array}\]

最值
\[\left\{\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0,0\right\}\]
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 楼主| 发表于 2020-9-8 15:36:23 | 显示全部楼层
abc的排列一共有六种,其中abc、bca、cab,分别带入f(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a),得到的是f=(a-b)(b-c)(c-a),
另外三种排列acb、cba、bac, 分别带入f(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a), 得到的是-f=-(a-b)(b-c)(c-a),
假设f=(a-b)(b-c)(c-a)取最大值时,a=x,b=y,c=z,调整xyz的顺序,然后带入f,得到的要么是最大值fmax(很显然fmax大于等于零),要么是最小值fmin(很显然fmin小于等于零),
如果有一个gmin比fmin还小,那么调整取最值时变量的值,就可以得到一个比fmax更大的值,因此矛盾!因此不存在比fmin更小的gmin。
因此求最大值fmax就是求最小值fmin,求最小值就是求最大值,两者互为相反数。
求fmax与fmin就是求h=|(a-b)(b-c)(c-a)|的最大值,h取最大值时,调整变量的顺序,最大值不变,因此可以假设变量a>=b>=c
a-b=u,b-c=v,则a-c=u+v,此时h=u*v*(u+v),


我添加了一些详细的说明,这样mathe的更容易明白!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-9-8 17:25:22 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. Minimize[{(a-b)*(b-c)*(c-a),a^2+b^2+c^2==1},{a,b,c}]
  3. Minimize[{(a-b)*(b-c)*(c-a),a^2+b^2+c^2==1&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]//FullSimplify
复制代码

两个最小值依次是:
\[\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}},\left\{a\to 0,b\to -\frac{1}{\sqrt{2}},c\to \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\right\}\]
\[\left\{-\frac{1}{3 \sqrt{3}},\left\{a\to 0,b\to \sqrt{\frac{1}{6} \left(\sqrt{5}+3\right)},c\to \sqrt{\frac{1}{6} \left(3-\sqrt{5}\right)}\right\}\right\}\]

点评

提供最后的答案,供参考!只有答案,没有过程!  发表于 2020-9-8 17:26
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 楼主| 发表于 2020-9-9 09:05:35 | 显示全部楼层
@.·.·. 按照你的思路,加上我的理解,我重新整理了一个详细的过程。
QQ图片20200909085433_resized.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-9-10 15:02:53 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2020-9-7 15:55
第一问,只需要注意到,在设$a\le b\le c$时,$(a-b)(b-c)\le\frac{(a-c)^2}4$而$|a-c|$在$|a|=|c|=\sq ...

其实你们说的都不对,应该是求最大值,而不是最小值,我在后面说明白了!
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