数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
12
返回列表 发新帖
楼主: xbtianlang

[原创] 正三角形的最小整数边长

[复制链接]
发表于 2020-9-14 09:25:30 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-11 17:37
如同mathe所说,四面体体积为0,得到\[\left|
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & a^2 & a^2 & d^2 \\
1 & a^2 & 0 & a^2 & e^2 \\
1 & a^2 & a^2 & 0 & f^2 \\
1 & d^2 & e^2 & f^2 & 0 \\
\end{array}
\right| =0\]
也就是 $a^4 -a^2(d^2 + e^2 + f^2) + (d^4 + e^4 + f^4-d^2 f^2 - e^2 f^2 - d^2 e^2) =0$,于是$a^2 = \frac{1}{2} \left(d^2+e^2+f^2 \pm \sqrt{3} \sqrt{2 d^2 e^2+2 d^2 f^2+2 e^2 f^2-d^4-e^4-f^4}\right)$


这个问题相当困难
Arnfried Kemnitz给出了如下不定方程的解
\[ \Large{a^4+x^4+y^4+z^4=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+a^2 (x^2+y^2+z^2)} \]
\begin{align*}
\left\{\begin{split}
x&=\Big(u^2+v^2\Big)\Big(5u^2+8uv+5v^2\Big)\\
y&=7u^4+16u^3v+10u^2v^2+3v^4\\
z&=3u^4+10u^2v^2+16uv^3+7v^4\\
a&=8\Big(u-v\Big)\Big(u+v\Big)\Big(u^2+uv+v^2\Big)
\end{split}\right.
\end{align*}
参看《数论中未解决的问题》[加]盖伊(著)张明尧(译)
/2003-01-01 /科学出版社 P233 D19
https://mathworld.wolfram.com/RationalDistanceProblem.html
https://proofwiki.org/wiki/Small ... ances_from_Vertices


  1. a^4 + x^4 + y^4 + z^4 - x^2 y^2 - x^2 z^2 - y^2 z^2 -
  2.    a^2 (x^2 + y^2 + z^2) /. {
  3.    x -> (u^2 + v^2) (5 u^2 + 8 u v + 5 v^2),
  4.    y -> 7 u^4 + 16 u^3 v + 10 u^2 v^2 + 3 v^4,
  5.    z -> 3 u^4 + 10 u^2 v^2 + 16 u v^3 + 7 v^4,
  6.    a -> 8 (u - v) (u + v) (u^2 + u v + v^2)} // FullSimplify
复制代码


http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=7034&rpid=35459

点评

很神奇  发表于 2020-9-14 09:55

评分

参与人数 1威望 +6 金币 +6 贡献 +6 收起 理由
wayne + 6 + 6 + 6 赞一个!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-17 21:24:59 | 显示全部楼层
{{331},111,221,280}
{{331},49,285,296}

{{1729},211,1541,1560}
{{1729},824,915,1591}
{{1729},195,1544,1591}

{{1805},811,1029,1744}
{{1805},379,1464,1519}

{{2408},1023,1387,2045}
{{2408},715,1737,2353}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-10-21 02:02 , Processed in 0.085969 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表