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[原创] 正三角形的最小整数边长

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发表于 2020-9-11 16:59:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知,在正三角形ABC中,有P,Q两个内点,这两点到三个顶点的距离分别是六个不同的正整数,求三角形ABC的最小整数边长。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-11 17:16:40 | 显示全部楼层
这个可以尝试使用四面体体积公式:
https://bbs.emath.ac.cn/thread-2515-1-1.html
让四面体a=b=c,而且要求a,d,e,f都是正整数,体积为0,看不定方程解的情况,而且至少要求a比d,e,f都大
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发表于 2020-9-11 17:20:34 | 显示全部楼层
化简后好像要求
$(-d^4 -e^4 -f^4 + 2e^2 d^2 + 2f^2 d^2 + 2f^2 e^2 ) a^2 = f^2 e^2 d^2$
所以要求$-d^4 -e^4 -f^4 + 2e^2 d^2 + 2f^2 d^2 + 2f^2 e^2 $是完全平方,而且$a|f e d$

点评

我算的好像 跟你不一样  发表于 2020-9-11 17:34
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发表于 2020-9-11 17:37:46 | 显示全部楼层
如同mathe所说,四面体体积为0,得到\[|\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & a^2 & a^2 & d^2 \\
1 & a^2 & 0 & a^2 & e^2 \\
1 & a^2 & a^2 & 0 & f^2 \\
1 & d^2 & e^2 & f^2 & 0 \\
\end{array}
\right)| =0\]
也就是 $a^4 -a^2(d^2 + e^2 + f^2) + (d^4 + e^4 + f^4-d^2 f^2 - e^2 f^2 - d^2 e^2) =0$,于是$a^2 = \frac{1}{2} \left(d^2+e^2+f^2 \pm \sqrt{3} \sqrt{2 d^2 e^2+2 d^2 f^2+2 e^2 f^2-d^4-e^4-f^4}\right)$

暴力美学,算得最小的解是
${5, 5,5, 3, 7, 8},  {5, 5,5, 16, 19, 21}$

  1. {5,{{3,5,7,8},{5,16,19,21}}}
  2. {7,{{3,5,7,8},{7,8,13,15},{7,33,37,40}}}
  3. {8,{{3,5,7,8},{7,8,13,15}}}
  4. {9,{{9,15,21,24},{9,56,61,65}}}
  5. {10,{{6,10,14,16},{10,32,38,42}}}
  6. {11,{{11,24,31,35},{11,85,91,96}}}
  7. {13,{{7,8,13,15},{13,35,43,48}}}
  8. {14,{{6,10,14,16},{14,16,26,30},{14,66,74,80}}}
  9. {15,{{7,8,13,15},{9,15,21,24},{15,25,35,40},{15,48,57,63}}}
  10. {16,{{5,16,19,21},{6,10,14,16},{14,16,26,30},{16,39,49,55}}}
  11. {19,{{5,16,19,21},{19,80,91,99}}}
  12. {20,{{12,20,28,32},{20,64,76,84}}}
  13. {21,{{5,16,19,21},{9,15,21,24},{21,24,39,45},{21,35,49,56}}}
  14. {24,{{9,15,21,24},{11,24,31,35},{21,24,39,45},{24,40,56,64}}}
  15. {26,{{14,16,26,30},{26,70,86,96}}}
  16. {28,{{12,20,28,32},{28,32,52,60}}}
  17. {30,{{14,16,26,30},{18,30,42,48},{30,50,70,80}}}
  18. {32,{{10,32,38,42},{12,20,28,32},{28,32,52,60},{32,45,67,77}}}
  19. {33,{{7,33,37,40},{33,55,77,88}}}
  20. {35,{{11,24,31,35},{13,35,43,48},{15,25,35,40},{21,35,49,56},{35,40,65,75}}}
  21. {39,{{16,39,49,55},{21,24,39,45}}}
  22. {40,{{7,33,37,40},{15,25,35,40},{24,40,56,64},{35,40,65,75},{40,51,79,91}}}
  23. {42,{{10,32,38,42},{18,30,42,48},{42,48,78,90}}}
  24. {45,{{21,24,39,45},{27,45,63,72},{32,45,67,77}}}
  25. {48,{{13,35,43,48},{15,48,57,63},{18,30,42,48},{22,48,62,70},{42,48,78,90}}}
  26. {49,{{16,39,49,55},{21,35,49,56}}}
  27. {55,{{16,39,49,55},{33,55,77,88}}}
  28. {56,{{9,56,61,65},{21,35,49,56},{24,40,56,64}}}
  29. {60,{{28,32,52,60},{36,60,84,96}}}
  30. {63,{{15,48,57,63},{17,63,73,80},{27,45,63,72}}}
  31. {64,{{20,64,76,84},{24,40,56,64}}}
  32. {65,{{9,56,61,65},{35,40,65,75}}}
  33. {70,{{22,48,62,70},{26,70,86,96},{30,50,70,80}}}
  34. {77,{{32,45,67,77},{33,55,77,88}}}
  35. {80,{{14,66,74,80},{17,63,73,80},{19,80,91,99},{30,50,70,80}}}
  36. {84,{{20,64,76,84},{36,60,84,96}}}
  37. {91,{{11,85,91,96},{19,80,91,99},{40,51,79,91}}}
  38. {96,{{11,85,91,96},{26,70,86,96},{36,60,84,96}}}

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 楼主| 发表于 2020-9-11 18:33:31 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-11 17:37
如同mathe所说,四面体体积为0,得到\[|\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

要求是内点,不能在边上或者外部。
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发表于 2020-9-11 19:53:12 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-9-11 17:37
如同mathe所说,四面体体积为0,得到\[|\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

从中提出合乎内点要求的结果。
  1. {{{7, 33, 37}, {15, 25, 35}}, 40}
  2. {{{13, 35, 43}, {18, 30, 42}}, 48}
  3. {{{14, 66, 74}, {17, 63, 73}}, 80}
  4. {{{11, 85, 91}, {26, 70, 86}, {36, 60, 84}}, 96}
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但是在边上。$7+33=40$  发表于 2020-9-11 20:01
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发表于 2020-9-11 20:47:49 | 显示全部楼层
{{331},111,221,280}
{{331},49,285,296}

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怎么得到的。我算到300就没继续算了。  发表于 2020-9-11 21:06
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发表于 2020-9-11 21:12:26 | 显示全部楼层
  1. f[n_]:=Times@@Cases[FactorInteger[n],{x_,y_}->x^Floor[y/2]]
  2. Do[g=Select[Divisors[f[a^4-a^2b^2+b^4-a^2c^2-b^2c^2+c^4]],(a^4-a^2b^2+b^4-a^2c^2-b^2c^2+c^4-a^2#^2-b^2#^2-c^2#^2+#^4==0&&c<#<a+b)&];If[g!={},Print[{g,a,b,c}]],{c,3,1000},{b,c-1},{a,Select[Range[b-1],GCD[#,b,c]==1&]}]
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出现两个311就可以了

点评

明白了  发表于 2020-9-11 22:05
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发表于 2020-9-11 22:28:22 | 显示全部楼层
直接用公式在a,b,c较大的时候效率更高些:
  1. Do[d=Round[Sqrt[a^2+b^2+c^2+Sqrt[3]Sqrt[-a^4+2a^2b^2-b^4+2a^2c^2+2b^2c^2-c^4]]/Sqrt[2]];
  2. If[c<d<a+b&&a^4-a^2b^2+b^4-a^2c^2-b^2c^2+c^4-a^2d^2-b^2d^2-c^2d^2+d^4==0,Print[{d,a,b,c}]],
  3. {c,3,1000},{b,Floor[c/2],c-1},{a,Select[Range[c-b,b-1],GCD[#,b,c]==1&]}]
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发表于 2020-9-11 22:32:48 | 显示全部楼层
根式里的刚好是海伦公式的表达$2 a^2 b^2+2 a^2 c^2-a^4+2 b^2 c^2-b^4-c^4=(-a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) = xyz(x+y+z)$,  也即是,$a=\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2+z^2+y z+x y+x z\pm2 \sqrt{3} \sqrt{x y z (x+y+z)}}$
如果能得到$xyz(x+y+z) =3n^2$的通解就好了。

点评

可以加速计算  发表于 2020-9-11 23:26
即使。。  发表于 2020-9-11 23:26
及时里面是平方数,外面还有一层根号,一般很难再满足  发表于 2020-9-11 23:26
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