数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 176|回复: 19

[讨论] 三点相遇问题

[复制链接]
发表于 2020-9-14 15:27:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
本帖最后由 lsr314 于 2020-9-14 19:11 编辑

假如有一个圆盘形的机械装置,使得在上面放上A、B、C三个陀螺后,A会朝着B转,B会朝着C转,C会朝着A转。假设圆盘的半径为R,三个陀螺互相追赶的速率是1,陀螺的半径忽略不计。问怎么放置三个陀螺,能使他们从开始到最终相遇到一起花的时间最长。

为了避免圆盘这个条件对最终结论的限制,可以考虑一个类似的问题:
描述改变一下:假设有一个充分大的平面机械装置,使得在上面放上A、B、C三个陀螺后,A会朝着B转,B会朝着C转,C会朝着A转。假设三个陀螺开始时彼此的间距都不超过R,三个陀螺互相追赶的速率是1,陀螺的半径忽略不计。问怎么放置三个陀螺,能使他们从开始到最终相遇到一起花的时间最长。

注:相互追赶的速率是指单个陀螺的运动速率,即相对于静止的机械装置的速率,不是指两个陀螺相互之间距离减少的速率,比如,如果两个陀螺是相向而行,那么他们的相对速率是2,而不是1.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-14 15:47:51 | 显示全部楼层
1)三个陀螺初始位置是圆盘的边缘吗
2)三个陀螺的初始速度的方向是啥?或者说,谁是主动,谁是被动,现在看着感觉是死锁的关系,^_^
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-14 15:54:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2020-9-14 16:36 编辑
wayne 发表于 2020-9-14 15:47
1)三个陀螺初始位置是圆盘的边缘吗
2)三个陀螺的初始速度的方向是啥?或者说,谁是主动,谁是被动,现在 ...


1)初始位置不必须是边缘,但是为了相遇时间最长,必然至少有两个在边缘上
2)初始的运动方向A指向B,B指向C,C指向A,可以想象A最终的运动轨迹的切线始终经过B,等等
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-14 16:24:38 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-14 16:27:44 | 显示全部楼层
Nim游戏

点评

和Nim游戏不太一样  发表于 2020-9-14 16:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
回复

使用道具 举报

发表于 2020-9-14 16:30:59 | 显示全部楼层
若A始终朝向B,那么AB之间的相对距离的减少速率,就是A相对B的运动速率。
所以,应将三者均匀分布在圆盘上,它们将走出螺旋线相遇在圆盘中心。

点评

后面的结论好像不是很显然  发表于 2020-9-14 16:41
回帖刷新后,才发现已有更专业的新回复了。  发表于 2020-9-14 16:32
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-14 16:34:05 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-9-14 16:24
广场上四只相互追逐的狗

对,一样的题目,本题的重点在于怎么确定初始位置,使得相遇所花时间最长,是不是组成正三角形的时候时间最长?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-14 16:49:48 | 显示全部楼层
打个岔回来都已经被大家揭底了,
印象中是高中物理竞赛书上的习题,这个曲线还是很有名的,叫做追逐曲线:https://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html
https://www.hsu.edu/uploads/pages/2006-7afpursuit.pdf
不过,追逐曲线一般都是指被追者为了尽可能延长径向被追的时间,其速度始终垂直于追捕者的速度方向,然后追捕者的速度方向是时时刻刻的指向 被追者的位置。你这题目里的循环指向并不是最优逃跑策略。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-14 16:51:47 | 显示全部楼层
假设三者初始距离不等:
A先与B重合,AB成了零向量,方向不确定,
接下来,A该如何运动?它俩会再分道扬镳吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-14 17:03:08 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2020-9-14 16:51
假设三者初始距离不等:
A先与B重合,AB成了零向量,方向不确定,
接下来,A该如何运动?它俩会再分道扬 ...


如果AB重合,那么A和B会一起和C做相向运动,直到重合,这一段轨迹是线段。

点评

哦哦,C碰到B了,还可以继续跑下去,追A,哈哈哈,,,  发表于 2020-9-14 19:15
怎么会追不上呢,如果有两个重合了,直接就直奔而去了,相遇更简单。又不是有一个是朝着一个固定的方向一直运动下去的  发表于 2020-9-14 18:47
恩,AB不可能重合,BC可以重合。 A->B->C->A, 我一开始把ABC放在一条直线熵, B和C 放的很近, 然后BC很快重合了,然后A在追 BC, 这个时候就 A永远追不上了  发表于 2020-9-14 17:44
不可能出现这种情况,C是一定会朝着B运动的,三个陀螺不可能朝着同一个方向运动  发表于 2020-9-14 17:27
如果AB重合,与C同向运动呢,是不是永远追不上 了  发表于 2020-9-14 17:12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-9-26 19:08 , Processed in 0.066293 second(s), 18 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表