抖音上一道有趣又很难的几何题

倪举鹏

有两种颜色的三个形状，请用这三个形状在平面上摆出两个颜色，形状一样的图出来。先看看解一：这样摆出来后，提取蓝色图案旋转平移后可以与黄色图案重合。这个问题总共有多少种解？抖音上有四种，如果翻转，平移，旋转能重合都算一样图的话，到底有多少种。数学方法，程序解都可以

倪举鹏

我已经想到方法了，将每个小正方形中心坐标列出来作为一个矩阵，一个颜色图形的矩阵旋转翻转平移后能与另一个颜色图形矩阵一样就可以了，要解多未知数的方程。大家可以实施一下

mathe

这个问题用数学方法分析其实不复杂。对于第三个长条形，我们可以给它选择固定的坐标位置，比如对应5个方块坐标分别为
(-2,0),(-1,0), (0,0), (1,0), (2,0)其中前两个蓝色，后三个黄色。
然后对于第一个形状，我们需要确定其中心（交叉点）的坐标(x,y)和四个不同方向。四种依次分开讨论。
由于三个连续黄色和三个连续蓝色都只出现一次，确定这两个方块的位置，就可以确定它们之间的旋转和平移变换只能是两种选择之一。计算出来后就可以计算出两者余下的两个方块对应的像的位置，这时只有两种可能：要么两者正好互换位置（这时要求第二种图像在变换下是它自身），要么两者的像正好拼成第二种图像。

但是上面的分析没有考虑连续三个黄色的色块右侧还会被来自另外一个形状一个黄色色块紧挨的情况，这种情况还需要特殊分析

mathe

记三个形状分别为P1,P2,P3.其中将黄色块映射为蓝色块的图形变换为F.
我们可以先只分析F将P3的三个黄色块映射为P1三个蓝色块的变换。
如果F只包含平移或镜像反射而不包含旋转，这时不妨假设P3的三个黄色块和P1的三个蓝色块都是水平放置的，这时余下两段的色块，要么两个蓝色块是水平的，但是两段的两个黄色块是一个水平一个垂直方向的，要么相反，即黄色全垂直，蓝色一横一竖，于是它们形状不同，所以这样的F是不存在的，不管两端色块是分离的还是挨着的。
所以F必然包含旋转变换。

mathe

记三种原始形状分别为P1,P2,P3.  而将黄色块映射为蓝色块的坐标变换为f.
不妨设P3的三个黄色块(中心)坐标为(0,0),(0,-1),(0,-2)对应蓝色块坐标为(0,1),(0,2)
于是P1的三个蓝色块是横向排列:
可以假设P1三个蓝色块坐标分别为$(u-1,v), (u,v), (u+1,v)$
情况1)$f(0,0)=(u-1,v), f(0,-1)=(u,v), f(0,-2)=(u+1,v)$
   于是$f(x,y)=f_1(x,y)=(u-y-1,x+v)$或$f(x,y)=f_2(x,y)=(u-y-1,v-x)$
            $f_1^{-1}(x,y)=(y-v,u-x-1), f_2^{-1}(x,y)=(v-y,u-x-1)$
情况2)$f(0,0)=(u+1,v), f(0,-1)=(u,v),f(0,-2)=(u-1,v)$
     于是$f(x,y)=f_3(x,y)=(u+1+y, x+v)$或$f(x,y)=f_4(x,y)=(u+1+y, v-x)$
            $f_3^{-1}(x,y)=(y-v, u+1-x), f_4^{-1}(x,y)=(v-y, u+1-x)$
如果 P1的两个黄色块坐标为$(u,v-2),(u,v-1)$, P3蓝色块坐标为$(0,1),(0,2)$
      $f_1(u,v-2)=(u-v+1,u+v),f_1(u,v-1)=(u-v,u+v)$
如果它们和P3的蓝色块有重叠部分，那么有两种可能，分别对应
  $ u=0,v=1$和$u=1,v=1$. 两者P1和P3都重叠，淘汰。所以P1的两个黄色块经过$f_1$映射后必然转化为P2的两个蓝色色块。另外
               $f_1^{-1}(0,1)=(1-v,u-1), f_1^{-1}(0,2)=(2-v,u-1)$，于是这两者必然是P2的两个黄色色块，所以u-1=u+v,v=-1, 另外P2的两种颜色要相邻，所以u-v+2=1-v或2-v+1=u-v
前者对应u=-1,后者对应u=3
也就是前者P1为$(-2,-1),(-1,-1),(0,-1)(-1,-3),(-1,-2)$, P2为$ (1,-2), (0,-2), (2,-2),(3,-2)$ 这种情况P1,P2和P3有重叠，为非法结果，需要淘汰。
后者P1为$(2,-1),(3,-1),(4,-1),(3,-3),(3,-2)$, P2为$(5,2),(4,2),(2,2),(3,2)$，为合法结果。
做图可知，这个解和解一正好是左右对称，所以本质上是同一个解

倪举鹏

方程很多，未知数也多，不知道电脑容不容易算，我不擅长算这个

mathe

发现5#中情况2）和情况1)本质上是一样的，我们只要将整个图关于y轴做对称，就可以将情况一和情况二互相转化，所以情况二就不用考虑了，这样简化一倍的复杂度
由于$f_2(u,v-2)=(u-v+1,v-u), f_2(u,v-1)=(u-v,v-u)$
$f_2^{-1}(0,1)=(v-1,u-1), f_2^{-1}(0,2)=(v-2,u-1)$
我们可以得出v=u+1时$(u-v+1,v-u)=(0,1)$和P3重叠，这种情况会有些复杂，待分析。
而正常情况，上面两者连成P2,所以v-u=u-1,v-1+1=u-v或u-v+1+1=v-2,即v=2u-1而且u=2v或u=2v-4,所以只能v=3,u=2,满足v=u+1条件，所以和P3有重叠，舍去。
后面还有P1两个黄色色块向上的情况

mathe

另外一个方向可以计算出
P3: B(0,2),B(0,1),Y(0,0),Y(0,-1),Y(0,-2)
P1: Y(6,1),Y(6,0),B(5,-1),B(6,-1),B(7,-1)
P2: Y(2,5),Y(3,5),B(4,5),B(5,5)

P3: B(0,2),B(0,1),Y(0,0),Y(0,-1),Y(0,-2)
P1: B(1,3),B(2,3),B(3,3),Y(2,5),Y(2,4)
P2: B(-4,1),B(-3,1),Y(-2,1),Y(-1,1)

P3: B(0,2),B(0,1),Y(0,0),Y(0,-1),Y(0,-2)
P1: B(5,11),B(6,11),B(7,11),Y(6,12),Y(6,13)
P2: Y(-10,5),Y(-9,5),B(-8,5),B(-7,5)

mathe

mathe

P2:B$(u-1,v), (u,v), (u+1,v)$
$f_1(x,y)=(u-y-1,x+v), f_2(x,y)=(u-y-1,v-x)$
$f_1^{-1}(x,y)=(y-v,u-x-1), f_2^{-1}(x,y)=(v-y,u-x-1)$
$f_1(u,v-2)=(u-v+1,u+v), f_1(u,v-1)=(u-v, u+v), f_1(u,v+1)=(u-v-2,u+v), f_2(u,v+2)=(u-v-3, u+v)$
$f_1^{-1}(0,1)=(1-v,u-1), f_1^{-1}(0,2)=(2-v,u-1)$
$=>v =-1$
$f_1(u,-3)=(u +2,u-1), f_1(u,-2)=(u+1, u-1), f_1(u,0)=(u -1,u-1), f_2(u,1)=(u -2, u-1)$
$f_1^{-1}(0,1)=(2,u-1), f_1^{-1}(0,2)=(3,u-1)$
i)        $u+1=4=>u=3$
P2: B(5,2), B(4,2),Y(3,2),Y(2,2)
P1: B(2,-1),B(3,-1),B(4,-1), Y(3,-2),Y(3,-3)
P3: B(0,2),B(0,1),Y(0,0),Y(0,-1),Y(0,-2)
ii)        $u+2=1 => u=-1$
P2: B(0,-2), B(1,-2),Y(2,-2),Y(3,-2)
P1: B(-2,-1),B(-1,-1),B(0,-1),Y(-1,-2),Y(-1,-3)
P3: B(0,2),B(0,1),Y(0,0),Y(0,-1),Y(0,-2)， P1 $\cap$ P3 非空淘汰
iii)        $u-3=3=>u=6$
P2:B(5,5),B(4,5),Y(3,5),Y(2,5)
P1:B(5,-1),B(6,-1),B(7,-1), Y(6,0),Y(6,1)
P3: B(0,2),B(0,1),Y(0,0),Y(0,-1),Y(0,-2)
iv)        u=2
P2: B(0,1), B(1,1),Y(2,1),B(3,1)
P1:B(1,-1),B(2,-1),B(3,-1), B(2,0),B(2,1)
P3: B(0,2),B(0,1),Y(0,0),Y(0,-1),Y(0,-2) P2 $\cap$ P3 非空淘汰


$f_2(u,v-2)=(u-v+1,v-u), f_2(u,v-1)=(u-v,v-u), f_2(u,v+1)=(u-v-2, v-u), f_2(u,v+2)=(u-v-3,v-u)$
$f_2^{-1}(0,1)=(v-1,u-1), f_2{-1}(0,2)=(v-2,u-1)$
$=>v-u=u-1, v=2u-1$
$f_2(u,2u-3)=(-u+2,u-1), f_2(u,2u-2)=(-u+1,u-1), f_2(u,2u)=(-u-1, u-1), f_2(u,2u+1)=(-u-2, u-1)$
$f_2^{-1}(0,1)=(2u-2,u-1), f_2{-1}(0,2)=(2u-3,u-1)$
i)        $2u-1=-u+1$, u不是整数，淘汰
ii)        $2-u+1=2u-3, u=2,v=3$
P2: B(0,1),B(1,1),Y(2,1),Y(3,1)
P1: B(1,3),B(2,3),B(3,3) ,Y(2,2), Y(2,1)
P3: B(0,2),B(0,1),Y(0,0),Y(0,-1),Y(0,-2), P2和P3相交，淘汰
iii)        $–u-1+1=2u-3, u=1, v=1$
P2: B(-2,0),B(-3,0) ,Y(-1,0), Y(0,0)
P1: B(0,1),B(1,1),B(2,1), B(-2,0), Y(1,2),Y(1,3)
P3: B(0,2),B(0,1),Y(0,0),Y(0,-1),Y(0,-2), P2和P3相交，淘汰
iv)        $–u-2-1=2u-2$, u不是整数，淘汰