三角函数的通解

northwolves

$siny/sinx=\frac{1+sqrt(5)}{2},x,y\in(0,\pi)$ 有没有通解形式？

gxqcn

构造一个三角形，其中两边为 \(2，1+\sqrt{5}\)，其对应的顶角就是 \(x, y\)

northwolves

其中几组解：
$(pi/10,pi/6),(pi/10,\frac{5pi}{6}),
(pi/6,\frac{3pi}{10}),(pi/6,\frac{7pi}{10}),
(pi/5,\frac{2pi}{5}),(pi/5,\frac{3pi}{5})$

wayne

啥叫通解。是${x,y}$所有的$\pi$的有理数倍吗

northwolves

比如特解：$siny=2sinxcos\frac{pi}{5}=sin(x+pi/5)+sin(x-pi/5)$
                    
                 $siny=2sin\frac{pi}{6}sin\frac{3pi}{10}$

mathe

$x=\arcsin(\frac{2\sin(y)}{\sqrt{5}+1})$算不算通解？或者说你仅仅要求x,y都是有理解度，那就是完全不同的问题了

northwolves

mathe 发表于 2020-9-19 21:28
$x=\arcsin(\frac{2\sin(y)}{\sqrt{5}+1})$算不算通解？或者说你仅仅要求x,y都是有理解度，那就是完全不同 ...

mathe 原贴在这里

请问这个三角函数题有什么好方法吗?

mathe

这个公式 $siny=sin(x+pi/5)+sin(x-pi/5)$ 不错
我们可以写成$sin(x+pi/5)+sin(x-pi/5)+sin(-y)=0$
记$u=x+pi/5, v=x-pi/5, w=-y$,于是我们得到
$e^{i u} + e^{i v} + e^{i w} + e^{-i (u+pi)} +e^{-i (v+pi)} +e ^{-i (w+pi)} =0 $
查看正边形对角线交点的文章 http://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf
其中第三部分主要就讨论若干个单位根的和为0的解法
根据里面的表格1， 权重不超过6的极小关系只有$R_2$, $R_3$,$R_5$, $R_5:R_3$

mathe

而我们的解需要角度分别为$x+pi/5, x-pi/5, -y, {4pi}/5-x, {6pi}/5 -x, pi+y$
如果是三组$R_2$,也就是分成三组，每组两个角度差值为$pi$,那么只能x=0或$pi$, y=0或$pi$以及 $x={pi}/5, y={2pi}/5$
如果是两组$R_3$, 也就是分成两组，每组三个角两两相差${2pi}/3$,那么可以
   $x={pi}/6, x+pi/5={11pi}/30,  {6pi}/5-x={31pi}/30, y=-{9\pi}/30, x-pi/5=-{pi}/30, {4pi}/5-x={19pi}/30, pi-y={39pi}/30$
也可以$x={5pi}/6,...$

而如果是$R5:R3$, 要求6个角中有4个方向构成正5边形的四个顶点，另外两个为正三角形顶点，而且两正多边形没有出现的点重合
于是显然要求$x+pi/5, x-pi/5, -y, {4pi}/5-x, {6pi}/5 -x$构成正五边形的四个顶点，对应$x={pi}/10$或${9pi}/10$

也就是知乎链接里面已经找出了所有有理角度解

wayne

暴力一下好了，$180*180$,  答案是$8$个，

1. Select[Flatten[Table[{i ,j},{i,1,180-1},{j,1,180-1}],1]/180 Pi,Function[{a,b},TrigReduce[Sin[a+b]Sin[b]-Sin[a]Sin[a+2b]]==0]@@#&]

复制代码

本题有$8$组解
\[\left\{\frac{\pi }{10},\frac{\pi }{6}\right\},\left\{\frac{\pi }{10},\frac{5 \pi }{6}\right\},\left\{\frac{\pi }{6},\frac{3 \pi }{10}\right\},\left\{\frac{\pi }{6},\frac{7 \pi }{10}\right\},\left\{\frac{5 \pi }{6},\frac{3 \pi }{10}\right\},\left\{\frac{5 \pi }{6},\frac{7 \pi }{10}\right\},\left\{\frac{9 \pi }{10},\frac{\pi }{6}\right\},\left\{\frac{9 \pi }{10},\frac{5 \pi }{6}\right\}\]
对应知乎的原题有$12$组解
\[\left\{\frac{\pi }{15},\frac{\pi }{10}\right\},\left\{\frac{2 \pi }{15},\frac{\pi }{6}\right\},\left\{\frac{\pi }{5},\frac{\pi }{5}\right\},\left\{\frac{4 \pi }{15},\frac{5 \pi }{6}\right\},\left\{\frac{2 \pi }{5},\frac{\pi }{5}\right\},\left\{\frac{7 \pi }{15},\frac{7 \pi }{10}\right\},\left\{\frac{8 \pi }{15},\frac{\pi }{6}\right\},\left\{\frac{3 \pi }{5},\frac{3 \pi }{5}\right\},\left\{\frac{11 \pi }{15},\frac{\pi }{10}\right\},\left\{\frac{4 \pi }{5},\frac{2 \pi }{5}\right\},\left\{\frac{13 \pi }{15},\frac{3 \pi }{10}\right\},\left\{\frac{14 \pi }{15},\frac{\pi }{6}\right\}\]
\[\{12 {}^{\circ},18 {}^{\circ}\},\{24 {}^{\circ},30 {}^{\circ}\},\{36 {}^{\circ},36 {}^{\circ}\},\{48 {}^{\circ},150 {}^{\circ}\},\{72 {}^{\circ},36 {}^{\circ}\},\{84 {}^{\circ},126 {}^{\circ}\},\{96 {}^{\circ},30 {}^{\circ}\},\{108 {}^{\circ},108 {}^{\circ}\},\{132 {}^{\circ},18 {}^{\circ}\},\{144 {}^{\circ},72 {}^{\circ}\},\{156 {}^{\circ},54 {}^{\circ}\},\{168 {}^{\circ},30 {}^{\circ}\}\}\]