数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 433|回复: 65

[讨论] 中秋画月饼

[复制链接]
发表于 2020-10-3 10:09:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
中秋画月饼
中秋吃月饼确实惬意,奈何血糖偏高,唯有望"月"兴叹
突发奇想,画几个月饼,打发时光
问题:三角形的月饼盒放3个大小不同的圆月饼,月饼的面积sc与月饼盒的面积st之比 k=sc/st,求k最大值?
凝思良久,不得要领,你愿来茶馆聊聊?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-3 17:16:30 | 显示全部楼层
正三角形内三个相等的圆?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-3 18:21:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2020-10-3 18:29 编辑
markfang2050 发表于 2020-10-3 17:16
正三角形内三个相等的圆?


左边三个圆面积和大于右边三个圆的面积和。猜测对于任意三角形,三个圆分别为三角形内接圆及该圆两个相邻较大区域内的内接圆。
010.png
020.png

点评

哈哈  发表于 2020-10-4 12:58
我同意你的结论,但不会证明,没有计算出结果  发表于 2020-10-3 19:56
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-3 20:23:29 | 显示全部楼层
堆砌问题是颠峰级别的几何题
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-4 14:26:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-4 14:30 编辑
aimisiyou 发表于 2020-10-3 18:21
左边三个圆面积和大于右边三个圆的面积和。猜测对于任意三角形,三个圆分别为三角形内接圆及该圆两个相 ...



按你的猜想,大园尽可能大,取为内切圆的方案,做了11例子,边解题边画图,题解完了,图也画完了
有趣的是:k最大值出现在角A=78度附近的等腰三角形,待更多的测试,k能大于0.762232 ?
大园最大方案解题结果:
例1 a=10 b=10 c=10 等边三角形                       k=0.738955
例2 a=10 b=6  c=6  钝角三角形                       k=0.692925
例3 a=10 b=9  c=6  锐角三角形                       k=0.736986
例4 a=5  b=4  c=3  直角三角形                       k=0.741296
例5 a=Sqrt[26] b=5 c=1 直角三角形                   k=0.43955  接近最小?
例6 a=10 b=5 Sqrt[2] c=5 Sqrt[2] 等腰直角三角形     k=0.753893 A=90度
例7 a=9 b=5 Sqrt[2] c=5 Sqrt[2]  7等腰锐角三角形    k=0.762194 aA= 79.04721580度
例11 a=8.9 b=5 Sqrt[2] c=5 Sqrt[2] 11等腰钝角三角形 k=0.762232 aA= 78.0007度 接近最大?
例8 a=8 b=5 Sqrt[2] c=5 Sqrt[2]  8等腰锐角三角形    k=0.756459
例9 a=7 b=5 Sqrt[2] c=5 Sqrt[2]  9等腰锐角三角形    k=0.737119 A接近60度
例10 a=11 b=5 Sqrt[2] c=5 Sqrt[2]  10等腰钝角三角形 k=0.728891

图形文件名:画月饼_例4_a5_b4_c3_k0.741296-20201003.png

大中小园方案例4

大中小园方案例4
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-4 16:44:13 | 显示全部楼层
在上图中,设BD=p,DC=q, AE=r, OD=1, 左边小圆半径为u,右边小圆半径为v,记s=p+q+r
计算可得, $p=\frac{\sqrt(4u)}{1-u}, q=\frac{\sqrt{4v}}{1-v}$
根据海伦公式,$1=\sqrt{\frac{pqr}s}$, 即$s=p+q+r=pqr$,所以三角形ABC的面积为$\sqrt{pqrs}=pqr$
而且$r=\frac{p+q}{pq-1}$, 得到三角形ABC的面积为$\Delta=\frac{pq(p+q)}{pq-1}$, 可以看出必须有$pq\gt 1$.
我们设$u=\tan^2(\frac{\alpha}2), v=\tan^2(\frac{\beta}2)$,于是$0\lt \alpha \lt \frac{\pi}2, 0\lt \beta\lt\frac{\pi}2$
于是得到$p=\tan(\alpha), q=\tan(\beta), \Delta=-\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\alpha+\beta))$ 其中条件$pq\gt 1$转化为$\alpha+\beta \gt \frac{\pi}2$
而三个圆的面积和为$\pi(1+u+v)=\pi(1+\tan^4(\frac{\alpha}2)+\tan^4(\frac{\beta}2)$
于是问题就转化为给定
$0\lt \alpha\lt\frac{\pi}2, 0\lt \beta\lt\frac{\pi}2, \alpha+\beta \gt \frac{\pi}2$
求$-\frac{\pi (1+\tan^4(\frac{\alpha}2)+\tan^4(\frac{\beta}2))}{\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\alpha+\beta)}$的最大值

点评

开此题公式计算的先河  发表于 2020-10-6 11:47
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-4 18:36:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-4 18:38 编辑

再给出一些实例数据,供理论分析参考
从边长10的等边三角形的A向下压扁,a不变,b c逐渐变小,
k的变化:
注意最大值 最小值
n      a       b              c               A 度          k
0        10        10.00        10.00        60.000000        0.73895529653986653172
1        10        9.950        9.950        60.332739        0.73984646402223665662
2        10        9.900        9.900        60.669410        0.74072832625895633803
3        10        9.850        9.850        61.010088        0.74160052418456170601
4        10        9.800        9.800        61.354849        0.74246268644904800242
5        10        9.750        9.750        61.703772        0.74331442890621542114
6        10        9.700        9.700        62.056938        0.74415535407522913650
7        10        9.650        9.650        62.414430        0.74498505057367113103
8        10        9.600        9.600        62.776333        0.74580309252022981217
9        10        9.550        9.550        63.142735        0.74660903890503015905
10        10        9.500        9.500        63.513728        0.74740243292545109798
11        10        9.450        9.450        63.889403        0.74818280128510667560
12        10        9.400        9.400        64.269856        0.74894965345348193927
13        10        9.350        9.350        64.655186        0.74970248088351163905
14        10        9.300        9.300        65.045495        0.75044075618416814205
15        10        9.250        9.250        65.440887        0.75116393224488229633
16        10        9.200        9.200        65.841469        0.75187144130835515825
17        10        9.150        9.150        66.247353        0.75256269398802699838
18        10        9.100        9.100        66.658653        0.75323707822615001606
19        10        9.050        9.050        67.075487        0.75389395818805956679
20        10        9.000        9.000        67.497977        0.75453267308785189580
21        10        8.950        8.950        67.926249        0.75515253594025038469
22        10        8.900        8.900        68.360431        0.75575283223297266010
23        10        8.850        8.850        68.800659        0.75633281851339251139
24        10        8.800        8.800        69.247071        0.75689172088271768333
25        10        8.750        8.750        69.699809        0.75742873339027076219
26        10        8.700        8.700        70.159022        0.75794301631975820512
27        10        8.650        8.650        70.624862        0.75843369435863372472
28        10        8.600        8.600        71.097488        0.75889985464079724333
29        10        8.550        8.550        71.577063        0.75934054465190866723
30        10        8.500        8.500        72.063758        0.75975476998552447243
31        10        8.450        8.450        72.557748        0.76014149193707045834
32        10        8.400        8.400        73.059214        0.76049962492132989379
33        10        8.350        8.350        73.568347        0.76082803369763417086
34        10        8.300        8.300        74.085342        0.76112553038527176785
35        10        8.250        8.250        74.610402        0.76139087124975637356
36        10        8.200        8.200        75.143739        0.76162275323848827221
37        10        8.150        8.150        75.685571        0.76181981024197198809
38        10        8.100        8.100        76.236129        0.76198060905408006301
39        10        8.050        8.050        76.795647        0.76210364500183397756
40        10        8.000        8.000        77.364375        0.76218733721175780314
41        10        7.950        7.950        77.942568        0.76223002347598896254 最大值
42        10        7.900        7.900        78.530496        0.76222995467693430369
43        10        7.850        7.850        79.128437        0.76218528872425756349
44        10        7.800        7.800        79.736683        0.76209408395228115369
45        10        7.750        7.750        80.355539        0.76195429191936917958
46        10        7.700        7.700        80.985323        0.76176374954339773205
47        10        7.650        7.650        81.626368        0.76152017049885664502
48        10        7.600        7.600        82.279021        0.76122113579127885517
49        10        7.550        7.550        82.943648        0.76086408341333884395
50        10        7.500        7.500        83.620630        0.76044629697383734720
51        10        7.450        7.450        84.310369        0.75996489317558067291
52        10        7.400        7.400        85.013285        0.75941680800049131734
53        10        7.350        7.350        85.729820        0.75879878143969623521
54        10        7.300        7.300        86.460442        0.75810734058227872799
55        10        7.250        7.250        87.205638        0.75733878084818015239
56        10        7.200        7.200        87.965926        0.75648914511758292692
57        10        7.150        7.150        88.741852        0.75555420046999883913
58        10        7.100        7.100        89.533991        0.75452941220000066853
59        10        7.050        7.050        90.342952        0.75340991472155830088
60        10        7.000        7.000        91.169383        0.75219047890739844783
61        10        6.950        6.950        92.013966        0.75086547533136573853
62        10        6.900        6.900        92.877431        0.74942883278750141342
63        10        6.850        6.850        93.760550        0.74787399134579984051
64        10        6.800        6.800        94.664149        0.74619384906670541840
65        10        6.750        6.750        95.589107        0.74438070132846179301
66        10        6.700        6.700        96.536366        0.74242617151585702280
67        10        6.650        6.650        97.506933        0.74032113156598051306
68        10        6.600        6.600        98.501891        0.73805561055369057376
69        10        6.550        6.550        99.522404        0.73561868911009616846
70        10        6.500        6.500        100.56973        0.73299837697979365039
71        10        6.450        6.450        101.64521        0.73018147040811387659
72        10        6.400        6.400        102.75033        0.72715338526978315095
73        10        6.350        6.350        103.88669        0.72389796085332581211
74        10        6.300        6.300        105.05601        0.72039722793061939884
75        10        6.250        6.250        106.26020        0.71663113307111068399
76        10        6.200        6.200        107.50136        0.71257720897021907746
77        10        6.150        6.150        108.78177        0.70821017766132775963
78        10        6.100        6.100        110.10397        0.70350146959971941620
79        10        6.050        6.050        111.47079        0.69841863635385937081
80        10        6.000        6.000        112.88538        0.69292462744167046428
81        10        5.950        5.950        114.35126        0.68697689185405211373
82        10        5.900        5.900        115.87243        0.68052625072320953470
83        10        5.850        5.850        117.45340        0.67351546742578177262
84        10        5.800        5.800        119.09937        0.66587741201878897318
85        10        5.750        5.750        120.81631        0.65753267322498961457
86        10        5.700        5.700        122.61117        0.64838640483655650387
87        10        5.650        5.650        124.49215        0.63832409013909689317
88        10        5.600        5.600        126.46900        0.62720574273363746661
89        10        5.550        5.550        128.55348        0.61485778934498072542
90        10        5.500        5.500        130.76005        0.60106141326219990770
91        10        5.450        5.450        133.10677        0.58553530349420852316
92        10        5.400        5.400        135.61679        0.56790919117421328771
93        10        5.350        5.350        138.32061        0.54768144270422178941
94        10        5.300        5.300        141.25992        0.52414731893238520485
95        10        5.250        5.250        144.49442        0.49626889625412479980
96        10        5.200        5.200        148.11526        0.46241643524759646403
97        10        5.150        5.150        152.27514        0.41978302109499773548
98        10        5.100        5.100        157.27025        0.36276825559872228290
99        10        5.050        5.050        163.86140        0.27656865045132868415 最小值

点评

进一步计算表明最小值趋于0  发表于 2020-10-4 20:09
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-5 08:16:59 | 显示全部楼层
可以在我上面推导的表达式中取$\alpha=\beta\gt \frac{\pi}4$,得到函数在$\alpha=1.1267645149718208888226682817341231170$时可以取到最大值
$0.76223544633708454009202606640962263987$
对应p=q=2.1020975301232264318317503841814911767,r=1.2297232397226004394477823877671332852
三角形三边长,p+r=q+r=3.3318207698458268712795327719486244618,p+q=4.2041950602464528636635007683629823534
内切圆半径1,两小圆半径u=0.39900859647976833900653276659241113097
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-5 08:54:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-5 09:05 编辑
mathe 发表于 2020-10-5 08:16
可以在我上面推导的表达式中取$\alpha=\beta\gt \frac{\pi}4$,得到函数在$\alpha=1.1267645149718208888226 ...


我的初步数值计算结果和你的理论结果相同
当前最大值点 a : b : c = 1:0.792500 : 0.792500
我还在找最大值点的 a : b : c 是多少

mathe理论结果:alpha=1.1267645149718208888226682817341231170 k=0.76223544633708454009202606640962263987
我的数值结果 : a=10 b=7.92500 c=7.92500 A=78.235298度               k=0.76223544633636543687 *最大值 加密计算


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-5 14:25:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-5 14:41 编辑

mathe 发表于 2020-10-5 08:16
可以在我上面推导的表达式中取$\alpha=\beta\gt \frac{\pi}4$,得到函数在$\alpha=1.1267645149718208888226 ...


利用你的例子三角形验算,并且画图
显示
mathe的例子的三角形和我的例11 是相似三角形,结果除尺寸大小不同外相同,计算结果的差异纯属误差

mathe        k=0.76223544633708454009202606640962263987
我的最新结果 k=0.76223544633707707293908762187
小数点后13位相同

例12 a=4.2041950602464528636635007683629823534 b=3.3318207698458268712795327719486244618 c=3.3318207698458268712795327719486244618  12mathe的例子三角形
详细结果:
aA= 78.23540485度
aB= 50.88229757度
aC= 50.88229757度
A= {2.102097530123226431831750384181491177,2.584998184956010675911694180571155815}
B= {0,0}
C= {4.2041950602464528636635007683629823534,0}
D= {2.102097530123226431831750384181491177,0}
E= {2.87794904301106587317004310671404825,1.63091554898389587023823877802206685}
F= {1.32624601723538699049345766164893410,1.63091554898389587023823877802206685}
外心O1= {2.1020975301232264318317503841814911767,0.43779558594046312395993297282784981}
重心O= {2.102097530123226431831750384181491177,0.861666061652003558637231393523718605}
大园圆心= {2.102097530123226431831750384181491177,1.000000000000000000000000000000000000} 半径=1.
中园圆心= {3.36544,0.399009} 半径=0.399009(为演示,精度不高)
小园圆心= {0.838755,0.399009} 半径=0.399009(为演示,精度不高)
三角形面积 st=5.43391829996905330311128315613011564 园面积和=4.14193 k=0.762235


图形文件名:画月饼_例12_a4.20420_b3.33182_c3.33182_k0.762235-20201003.png
画月饼_例12_a4.20420_b3.33182_c3.33182_k0.762235-20201003.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-10-20 00:18 , Processed in 0.089540 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表