中秋画月饼

dlpg070

wayne 发表于 2020-10-7 17:31

谢谢你的代码
我找到加快的办法了.和你的思路相同
我的代码基本没改,只是NMaximize 去掉N -> Maximize
速度比较,位数<10000000 我们的速度基本一样,
但 10000000,100000000 我的突然变得特别慢,能指出原因吗?
我只计算到1千万位!没来得及比较数值是否相同
             wayne                       dlpg  
1000       0.0000779358             n=3  0.0000211678
10000      0.0000763322             n=4  0.0000202056
100000     0.0000737664             n=5  0.0000372039
1000000    0.0000628618             n=6  0.000149136
10000000   0.284114                 n=7  739.19      
100000000  3.96726                  n=8  没计算

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-10-7 19:59
谢谢你的代码
我找到加快的办法了.和你的思路相同
我的代码基本没改,只是NMaximize 去掉N -> Maximiz ...

1亿位的最后1000位比较: (最后1000位完全相同)
0258435688720118463303852633386720970982705135884310234348367547806974864950128341089836156441898182397216247290024318822536369575611957266956828066077684094406532148408875750176446859750636674815485336704365392769131678590057636783527488071530274061288344716742323555915915315151527061509777040395662428944037435515663651654148663742973728703646649699976151855093045446145522913825220022772794769403607676753148345991639851858073210426976379864872558008585704389852256853811145509578048515157248057180201958131409832586557737475328743461718654068424040627042556979851788733457679904926722152864633719375417139355195934667773942424731131055254171241233704166047680178087406531836273794128405054745491651466550041384390838998405690836550099571210200576746503703679501319431755122190248943109739729271256964728679754967232136693907831212228744144859546638807782553303799843761761606218397671793624146901739917433749683276183666934360958158134979396469095079602777452445890909321462774499298588167196671 Waynelast
025843568872011846330385263338672097098270513588431023434836754780697486495012834108983615644189818239721624729002431882253636957561195726695682806607768409440653214840887575017644685975063667481548533670436539276913167859005763678352748807153027406128834471674232355591591531515152706150977704039566242894403743551566365165414866374297372870364664969997615185509304544614552291382522002277279476940360767675314834599163985185807321042697637986487255800858570438985225685381114550957804851515724805718020195813140983258655773747532874346171865406842404062704255697985178873345767990492672215286463371937541713935519593466777394242473113105525417124123370416604768017808740653183627379412840505474549165146655004138439083899840569083655009957121020057674650370367950131943175512219024894310973972927125696472867975496723213669390783121222874414485954663880778255330379984376176160621839767179362414690173991743374968327618366693436095815813497939646909507960277745244589090932146277449929858816719667176627974354632002798335617 dlpg 多27位
多出27位纯属意外,有"赶"的想法,没有"超"的愿望,

这个节日虽没吃月饼,但收获良多,过得挺痛快,心中有"数"就好!
aimisiyou 的猜想坚定了我大小园方案
mathe的求解公式开创了公式解的先河,内切圆半径为1的设定,影响了其后所有公式
wayne的公式另辟蹊径,1亿位的精度令人叹为观止,鞭策我跃马扬鞭,奋蹄急追
王守恩的公式简单易懂漂亮,突飞猛进,
我也依样画葫芦,搞了个自以为不算太丑的公式和代码
经过大家的讨论,k的最大值计算获得出乎意料的圆满结果

王守恩的扩展题:三角形内放2个园,可能更复杂,更具挑战性,望有意者另立主题
茶馆很开心,开心来茶馆

王守恩

问题(1)：三角形内放1个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{3a(1-a^0)}{1-a}}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(2)：三角形内放2个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{b(1-b)}{1-b}+\frac{2c(1-c^0)}{1-c}}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(3)：三角形内放3个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{2c(1-c)}{1-c}+\frac{b(1-b^0)}{1-b}}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(4)：三角形内放4个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{3a(1-a)}{1-a}}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(5)：三角形内放5个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{b(1-b^2)}{1-b}+\frac{2c(1-c)}{1-c}}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(6)：三角形内放6个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{2c(1-c^2)}{1-c}+\frac{b(1-b)}{1-b}}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(7)：三角形内放7个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{3a(1-a^2)}{1-a}}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(8)：三角形内放8个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{b(1-b^3)}{1-b}+\frac{2c(1-c^2)}{1-c}}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

问题(9)：三角形内放9个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{2c(1-c^3)}{1-c}+\frac{b(1-b^2)}{1-b}}{\cot^2(\theta)\tan(2\theta)},\ \frac{\pi}{2} >\theta> 0, \ \ \theta\ \bigg]\)

记\(a=\big(\frac{1-\sin(\pi/2)}{1+\sin(\pi/2)}\big)^2,\ b=\big(\frac{1-\cos(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}\big)^2,\ c=\big(\frac{1-\sin(\theta)}{1+\sin(\theta)}\big)^2\)

dlpg070

王守恩 发表于 2020-10-12 13:34
问题(1)：三角形内放1个圆,圆与三角形面积比=k,求k最大值
NMaximize\(\D\bigg[\frac{1+\frac{3a(1-a^0)}{1 ...

王守恩的公式和代码去手误后
王守恩的扩展9题:                                    
计算结果:     10项                                            
                                                     
ok问题1  底角=60.     k=0.6046                       
ok问题2  底角=68.2244 k=0.697033                     
ok问题3  底角=50.8823 k=0.762235                     
ok问题4  底角=60.     k=0.806133                     
? 问题5  底角=64.4386 k=0.816406                     
? 问题6  底角=55.6499 k=0.823511                     
? 问题7  底角=60.     k=0.828526                     
? 问题8  底角=61.6506 k=0.829522                     
? 问题9  底角=58.4847 k=0.830333                     
? 问题10 底角=60.     k=0.831014   (模仿放10园)      
?问题100 底角=60.     k=0.831325   (模仿放100园)

王守恩

dlpg070 发表于 2020-10-15 10:52
王守恩的公式和代码去手误后
王守恩的扩展9题:                                    
计算结果:     ...

茶馆很开心,开心来茶馆。允许我拓展一下：
1，主帖是从面积到面积，其实也可以面积到周长，周长到面积，周长到周长。
2，主帖是从三角形到圆，其实也可以是四角形到圆，五角形到圆，.........
3，有这样一串数：
\(\frac{\pi}{3\sqrt{3}},\frac{4\pi}{9\sqrt{3}},\frac{37\pi}{81\sqrt{3}},\frac{334\pi}{729\sqrt{3}},\frac{3007\pi}{6561\sqrt{3}},\frac{27064\pi}{59049\sqrt{3}},\frac{243577\pi}{531441\sqrt{3}},...\)
极限是\(\frac{11\pi}{24\sqrt{3}}=0.8313247.....\)
看分子：1,4,37,334,3007,27064,243577,2192194,......，规律怎么找？

dlpg070

王守恩 发表于 2020-10-19 11:49
茶馆很开心,开心来茶馆。允许我拓展一下：
1，主帖是从面积到面积，其实也可以面积到周长，周长到面积， ...

分子数列:20项,对吗?
{1,4,37,334,3007,27064,243577,2192194,19729747,177567724,1598109517,
14382985654,129446870887,1165021837984,10485196541857,94366768876714,
849300919890427,7643708279013844,68793374511124597,619140370600121374}

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-10-19 19:08
分子数列:20项,对吗?
{1,4,37,334,3007,27064,243577,2192194,19729747,177567724,1598109517,
14382 ...

已经验证前34项

{1,4,37,334,3007,27064,243577,2192194,19729747,177567724,1598109517,14382985654,129446870887,1165021837984,10485196541857,94366768876714,849300919890427,7643708279013844,68793374511124597,619140370600121374,5572263335401092367,50150370018609831304,451353330167488481737,4062179971507396335634,36559619743566567020707,329036577692099103186364,2961329199228891928677277,26651962793060027358095494,239867665137540246222859447,2158808986237862216005735024,19429280876140759944051615217,174863527885266839496464536954,1573771750967401555468180832587,14163945758706613999213627493284}

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-10-19 21:56
已经验证前34项

{1,4,37,334,3007,27064,243577,2192194,19729747,177567724,1598109517,14382985654, ...

那串数的通项公式

an[n_] := 1/8 3^(-(3/2) - 2 n) (-3 + 11 9^n) \[Pi]; n>=0
分子的通项 an*Sqrt[3]/Pi求分子即可

1. (* 通项和极限 *)
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. n0=30
   
4. an[n_]:=1/8 3^(-(3/2)-2 n) (-3+11 9^n) \[Pi];
   
5. tab=Table[an[n],
   
6. {n,0,33}];
   
7. Grid[Table[{i,Flatten[tab[[i]]]},{i,1,Length[tab]}],Alignment->Left]
   
8. 
   
9. listnew=Table[Numerator[tab[[i]]*Sqrt[3]/Pi ],{i,1,34}];
   
10. Print["分子数列:34项"]
    
11. Flatten[listnew,1]
    
12. list1new=Table[Denominator[tab[[i]]*Sqrt[3]/Pi ],{i,1,34}];
    
13. Print["分母数列:34项"]
    
14. Flatten[list1new,1]
    
15. lim=Limit[an[n],n->\[Infinity]];
    
16. Print["极限 limit=",lim," = ",N[lim,n0]];
    
17. Print["=== 通项 end ==="]
    
18. 
    
19. 
    

复制代码

计算结果:

1. 1        \[Pi]/(3 Sqrt[3])
   
2. 2        (4 \[Pi])/(9 Sqrt[3])
   
3. 3        (37 \[Pi])/(81 Sqrt[3])
   
4. 4        (334 \[Pi])/(729 Sqrt[3])
   
5. 5        (3007 \[Pi])/(6561 Sqrt[3])
   
6. 6        (27064 \[Pi])/(59049 Sqrt[3])
   
7. 7        (243577 \[Pi])/(531441 Sqrt[3])
   
8. 8        (2192194 \[Pi])/(4782969 Sqrt[3])
   
9. 9        (19729747 \[Pi])/(43046721 Sqrt[3])
   
10. 10        (177567724 \[Pi])/(387420489 Sqrt[3])
    
11. 11        (1598109517 \[Pi])/(3486784401 Sqrt[3])
    
12. 12        (14382985654 \[Pi])/(31381059609 Sqrt[3])
    
13. 13        (129446870887 \[Pi])/(282429536481 Sqrt[3])
    
14. 14        (1165021837984 \[Pi])/(2541865828329 Sqrt[3])
    
15. 15        (10485196541857 \[Pi])/(22876792454961 Sqrt[3])
    
16. 16        (94366768876714 \[Pi])/(205891132094649 Sqrt[3])
    
17. 17        (849300919890427 \[Pi])/(1853020188851841 Sqrt[3])
    
18. 18        (7643708279013844 \[Pi])/(16677181699666569 Sqrt[3])
    
19. 19        (68793374511124597 \[Pi])/(150094635296999121 Sqrt[3])
    
20. 20        (619140370600121374 \[Pi])/(1350851717672992089 Sqrt[3])
    
21. 21        (5572263335401092367 \[Pi])/(12157665459056928801 Sqrt[3])
    
22. 22        (50150370018609831304 \[Pi])/(109418989131512359209 Sqrt[3])
    
23. 23        (451353330167488481737 \[Pi])/(984770902183611232881 Sqrt[3])
    
24. 24        (4062179971507396335634 \[Pi])/(8862938119652501095929 Sqrt[3])
    
25. 25        (36559619743566567020707 \[Pi])/(79766443076872509863361 Sqrt[3])
    
26. 26        (329036577692099103186364 \[Pi])/(717897987691852588770249 Sqrt[3])
    
27. 27        (2961329199228891928677277 \[Pi])/(6461081889226673298932241 Sqrt[3])
    
28. 28        (26651962793060027358095494 \[Pi])/(58149737003040059690390169 Sqrt[3])
    
29. 29        (239867665137540246222859447 \[Pi])/(523347633027360537213511521 Sqrt[3])
    
30. 30        (2158808986237862216005735024 \[Pi])/(4710128697246244834921603689 Sqrt[3])
    
31. 31        (19429280876140759944051615217 \[Pi])/(42391158275216203514294433201 Sqrt[3])
    
32. 32        (174863527885266839496464536954 \[Pi])/(381520424476945831628649898809 Sqrt[3])
    
33. 33        (1573771750967401555468180832587 \[Pi])/(3433683820292512484657849089281 Sqrt[3])
    
34. 34        (14163945758706613999213627493284 \[Pi])/(30903154382632612361920641803529 Sqrt[3])
    
35. 
    

复制代码

分子数列:

1. {1,4,37,334,3007,27064,243577,2192194,19729747,177567724,1598109517,14382985654,129446870887,1165021837984,10485196541857,94366768876714,849300919890427,7643708279013844,68793374511124597,619140370600121374,5572263335401092367,50150370018609831304,451353330167488481737,4062179971507396335634,36559619743566567020707,329036577692099103186364,2961329199228891928677277,26651962793060027358095494,239867665137540246222859447,2158808986237862216005735024,19429280876140759944051615217,174863527885266839496464536954,1573771750967401555468180832587,14163945758706613999213627493284}

复制代码

极限 limit=(11 \[Pi])/(24 Sqrt[3]) = 0.831324708607349848188952534753

王守恩

dlpg070 发表于 2020-10-20 08:39
那串数的通项公式

an[n_] := 1/8 3^(-(3/2) - 2 n) (-3 + 11 9^n) \; n>=0

LinearRecurrence[{10, -9}, {4, 37}, 19]      有趣的数列
{4, 37, 334, 3007, 27064, 243577, 2192194, 19729747, 177567724, 1598109517,
14382985654, 129446870887, 1165021837984, 10485196541857, 94366768876714,
849300919890427, 7643708279013844, 68793374511124597, 619140370600121374,}

dlpg070

王守恩 发表于 2020-10-25 08:28
LinearRecurrence[{10, -9}, {4, 37}, 19]      有趣的数列
{4, 37, 334, 3007, 27064, 243577, 219219 ...

也来个1行代码,简单的:

1. In[832]:= Table[Numerator[1/72 (11-3^(1-2 n)) ],{n,0,33}]
   
2. Out[832]= {1,4,37,334,3007,27064,243577,2192194,19729747,177567724,1598109517,14382985654,129446870887,1165021837984,10485196541857,94366768876714,849300919890427,7643708279013844,68793374511124597,619140370600121374,5572263335401092367,50150370018609831304,451353330167488481737,4062179971507396335634,36559619743566567020707,329036577692099103186364,2961329199228891928677277,26651962793060027358095494,239867665137540246222859447,2158808986237862216005735024,19429280876140759944051615217,174863527885266839496464536954,1573771750967401555468180832587,14163945758706613999213627493284}

复制代码