与三角形内切圆有关的逆向作图

hujunhua

如图，已知`△A_1B_1C_1`及其内部一点G,  分别在线段`GA_1, GB_1, GC_1`上取点求作△ABC，使得
`AB=AA_1+BB_1, BC=BB_1+CC_1, CA=CC_1+AA_1`.

（此图是逆向作图的：先作出△ABC，用内切圆分三边为a+b, b+c, c+a, 再于形内取点G， 最后朝各顶点作射线再延长……）

mathe

这个正常情况应该是无法尺规作图的，我觉得通常情况应该可以转化为三次方程的根，于是无法尺规做图。
设已知GA1,GB1,GC1分别为u,v,w, 角A1GB1等的余弦值分别为r,s,t, GA/GA1, GB/GB1, GC/GC1分别为x,y,z.
于是a=(1-x)u, b=(1-y)v, c=(1-z)w, 根据余弦定理得出方程
$(u x)^2+(v y)^2-2u v t x y = (u+v-u x - v y)^2$
简化后可以变化为形如$xy+p_1 x+q_1 y + h_1=0$, 同样我们可以得出类似的另外两条方程，于是有
\(\begin{cases}xy+p_1 x+q_1 y + h_1=0\\yz+p_2 y+q_2 z + h_2=0\\zx+p_3 z+q_3 x + h_3=0\end{cases}\)
上面方程依次乘上$z,x,y$可以得出另外三条方程
\(\begin{cases}xyz+p_1 zx+q_1 yz + h_1 z=0\\xyz+p_2 xy+q_2 zx + h_2x=0\\xyz+p_3 yz+q_3 xy + h_3y=0\end{cases}\)
于是利用这六条方程可以将$x,y,z,xy,yz,zx$都表示为$xyz$的线性表达式
\(\begin{pmatrix}p_1,q_1,0,0,0,1\\0,p_2,q_2,1,0,0\\q_3,0,p_3,0,1,0\\0,0,h_1,q_1,p_1,0\\h_2,0,0,0,q_2,p_2\\0,h_3,0,p_3,0,q_3\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}x\\y\\z\\yz\\xz\\xy\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}h_1,0\\h_2,0\\h_3,0\\0,1\\0,1\\0,1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\xyz\end{pmatrix}=0 \)
于是我们可以假设从上面方程组中可以解得形如
\(\begin{cases}x=u_1+v_1 xyz\\y=u_2+v_2 xyz\\z=u_3+v_3 xyz\end{cases}\)
三条式子相乘，就可以得出关于变量$xyz$的三次方程，我们求解这个三次方程可以得出$xyz$最后代入上面表达式得出$x,y,z$

mathe

比如选择$u=1,v=2,w=3, r=s=t=-1/2$, 可以得出
$p_1=-3,q_1=-6,h_2=9/2, p_2=-10/3,q_2=-5,h_2=25/6,p_3=-8,q_3=-8/3,h_3=16/3$
得出$xyz$满足的方程为
$273869401/178779604248000*(xyz)^3 + 46287553/212832862200*(xyz)^2 - 3010448027/3040469460*(xyz) + 9445982/65152917=0$
数值计算得出$xyz=0.14643225287742513750217985438613265203$
$x=0.51081253284489114229201425622290705402, y=0.54061961250584333205350918429744973673, z=0.53025332808083695672920973977078548455$

mathe

对的，有道理，我前面题目中应该可以解得类似
\(\begin{cases}x=u_1+v_1xyz\\yz=u_4+v_4xyz\end{cases}\)
两个表达式相乘就可以得出\(xyz=(u_1+v_1xyz)(u_4+v_4xyz)\),所以满足一条二次方程

creasson

按2#直接解也很简单，我的做法反而复杂了

mathe

我们可以看出x,y满足的方程只有三个参数，所以如果给定两者之间的三个对应关系就可以确定方程了。
如果我们改为查看$x_1=A A_1 = u-ux, y_1= B B_1=v-vy$的关系,
那么容易分析出在$x_1 =0$时，$y_1=u$(这时B在$B_1G$的延长线上，$x_1={u-v}/2$时，$y_1=v$, 而$x_1=v$时，$y_1=0$
由此 $(2v-u)x_1y_1+u v x_1+v^2 y_1 -u v^2=0$
这里关键的是，这个结论说明两者之间对应关系同夹角无关，只和线段长度相关？！

mathe

原来上面第一个点的对应关系弄错了，在$u\gt v$时，但$x_1=0$,对应$B A_1= B B_1$,这时两者长度不等于u,而是同角度有关系。

mathe

\(xy+p_1 x+q_1 y + h_1=0\) 确定了直线$G A_1$上的点列 A 到直线$G B_1$的点列 B 的一个射影对应 `\alpha`，
\(yz+p_2 y+q_2 z + h_2=0\) 确定了点列 B 到点列 C 的射影对应 `\beta`
\(zx+p_3 z+q_3 x + h_3=0\) 确定了点列 C 到点列 A 的射影对应 `\gamma`
三个射影对应的复合  `\alpha\beta\gamma` 构成了点列 A 到自身的一个射影变换，假设这个射影变换为
$x' x + p_4 x' +q_4 x + h_4=0$,
令$x' = x$解出变换的不动点就对应原方程的解，所以是二次方程，一般有两解。不知道另一解对应的图像是什么样子的.

在几何上，如果做三角形$A_1 B_1 C_1$的外接圆，可以将直线上的射影变换转化为圆上的射影变换，所以如果给定一个圆上的射影变换（三个源点和对应的像点），就可以做出任意第四个点的像，而且对于给定的射影变换，可以做出其不动点，就可以解决本题了

直接计算可以得出:
$((-p_2 + q_3)p_1 + (h_2 - q_3q_2))x^2 + ((-p_3p_2 + h_3)p_1 + ((-p_2 + q_3)h_1 + ((h_2 - q_3q_2)q_1 + (p_3h_2 - h_3q_2))))x + ((-p_3p_2 + h_3)h_1 + (p_3h_2 - h_3q_2)q_1)=0$

hujunhua

一般点不可作的话，退而求其次，G定为`△A_1B_1C_1`的外心吧。@mathe, u=v=w.

数学星空

沿用2#mathe的记号及方程

\(A_1G=x,B_1G=y,C_1G=z,\frac{AG}{A_1G}=u,\frac{BG}{B_1G}=v,\frac{CG}{C_1G}=w,\cos(\angle AGB)=t,\cos(\angle AGC)=s,\cos(\angle BGC)=r\)

\((ux)^2+(vy)^2-((1-u)x+(1-v)y)^2=2uxvyt\)

\((ux)^2+(wz)^2-((1-u)x+(1-w)z)^2=2uxwzs\)

\((wz)^2+(vy)^2-((1-w)z+(1-v)y)^2=2wzvyr\)

可以消元得到分别关于\(u,v,w\)的代数方程（均为二次方程，的确可以尺规作图）

(x + z)*(x + y)*(r*x^2 + r*x*y + r*x*z + r*y*z + x^2 - 3*x*y - 3*x*z + y*z) - 2*x*(2*r*x^3 + 3*r*x^2*y + 3*r*x^2*z + r*x*y^2 + 4*r*x*y*z + r*x*z^2 + r*y^2*z + r*y*z^2 - s*x^2*y - s*x^2*z - s*x*y^2 + s*x*z^2 + s*y^2*z + s*y*z^2 - t*x^2*y - t*x^2*z + t*x*y^2 - t*x*z^2 + t*y^2*z + t*y*z^2 + 2*x^3 - 3*x^2*y - 3*x^2*z - 3*x*y^2 - 4*x*y*z - 3*x*z^2 - y^2*z - y*z^2)*u + 2*x^2*(s*t*y^2 + 2*s*t*y*z + s*t*z^2 + 2*r*x^2 + 2*r*x*y + 2*r*x*z + 2*r*y*z - 2*s*x*y - 2*s*x*z - s*y^2 + s*z^2 - 2*t*x*y - 2*t*x*z + t*y^2 - t*z^2 + 2*x^2 - 2*x*y - 2*x*z - y^2 - z^2)*u^2=0

(y + z)*(x + y)*(s*x*y + s*x*z + s*y^2 + s*y*z - 3*x*y + x*z + y^2 - 3*y*z) + 2*y*(r*x^2*y - r*x^2*z + r*x*y^2 - r*x*z^2 + r*y^2*z - r*y*z^2 - s*x^2*y - s*x^2*z - 3*s*x*y^2 - 4*s*x*y*z - s*x*z^2 - 2*s*y^3 - 3*s*y^2*z - s*y*z^2 - t*x^2*y - t*x^2*z + t*x*y^2 - t*x*z^2 + t*y^2*z + t*y*z^2 + 3*x^2*y + x^2*z + 3*x*y^2 + 4*x*y*z + x*z^2 - 2*y^3 + 3*y^2*z + 3*y*z^2)*v + 2*y^2*(r*t*x^2 + 2*r*t*x*z + r*t*z^2 - r*x^2 - 2*r*x*y - 2*r*y*z + r*z^2 + 2*s*x*y + 2*s*x*z + 2*s*y^2 + 2*s*y*z + t*x^2 - 2*t*x*y - 2*t*y*z - t*z^2 - x^2 - 2*x*y + 2*y^2 - 2*y*z - z^2)*v^2=0

(x + z)*(y + z)*(t*x*y + t*x*z + t*y*z + t*z^2 + x*y - 3*x*z - 3*y*z + z^2) + 2*z*(-r*x^2*y + r*x^2*z - r*x*y^2 + r*x*z^2 - r*y^2*z + r*y*z^2 - s*x^2*y - s*x^2*z - s*x*y^2 + s*x*z^2 + s*y^2*z + s*y*z^2 - t*x^2*y - t*x^2*z - t*x*y^2 - 4*t*x*y*z - 3*t*x*z^2 - t*y^2*z - 3*t*y*z^2 - 2*t*z^3 + x^2*y + 3*x^2*z + x*y^2 + 4*x*y*z + 3*x*z^2 + 3*y^2*z + 3*y*z^2 - 2*z^3)*w + 2*z^2*(r*s*x^2 + 2*r*s*x*y + r*s*y^2 - r*x^2 - 2*r*x*z + r*y^2 - 2*r*y*z + s*x^2 - 2*s*x*z - s*y^2 - 2*s*y*z + 2*t*x*y + 2*t*x*z + 2*t*y*z + 2*t*z^2 - x^2 - 2*x*z - y^2 - 2*y*z + 2*z^2)*w^2=0

若\(r=s=t=-\frac{1}{2}\)即\(G\)为大三角形费马点（三个角均小于120度时）

(x + z)*(x + y)*(x^2 - 7*x*y - 7*x*z + y*z) - 2*x*(2*x^3 - 7*x^2*y - 7*x^2*z - 7*x*y^2 - 12*x*y*z - 7*x*z^2 - 5*y^2*z - 5*y*z^2)*u + x^2*(4*x^2 - 4*x*y - 4*x*z - 3*y^2 - 2*y*z - 3*z^2)*u^2=0

-(y + z)*(x + y)*(7*x*y - x*z - y^2 + 7*y*z) + 2*y*(7*x^2*y + 5*x^2*z + 7*x*y^2 + 12*x*y*z + 5*x*z^2 - 2*y^3 + 7*y^2*z + 7*y*z^2)*v - y^2*(3*x^2 + 4*x*y + 2*x*z - 4*y^2 + 4*y*z + 3*z^2)*v^2=0

(y + z)*(x + z)*(x*y - 7*x*z - 7*y*z + z^2) + 2*z*(5*x^2*y + 7*x^2*z + 5*x*y^2 + 12*x*y*z + 7*x*z^2 + 7*y^2*z + 7*y*z^2 - 2*z^3)*w - z^2*(3*x^2 + 2*x*y + 4*x*z + 3*y^2 + 4*y*z - 4*z^2)*w^2=0

若\(x=y=z=R\)即\(G\)为大三角形外心时

\(2r - 2 - 4(r - 1)u + (st + 2r - s - t - 1)u^2=0\)

\(2s - 2 - 4(s - 1)v + (rt - r + 2s - t - 1)v^2=0\)

\(2t - 2 - 4(t - 1)w + (rs - r - s + 2t - 1)w^2=0\)