三黄蛋的最大蛋黄:lol

hujunhua

转自@wayne的聊之斋，再追就不知根了。
外圆的半径为1，即为单位圆。


不失为一个趣题，但不知有没有妙解，所以未敢擅入“趣题妙解”版块。

markfang2050

`\D A =\frac{\sqrt3} 6\pi`

这不是我发群里的吗？

mathe

这明明是三红薯问题，我有个不错的解法，晚上有空发出去。今天带领上海昆山一批小兄弟们出去吃大闸蟹，发在部门群里。结果我老板发了个咬了一口的红薯，说他现在正拿着前天吃剩的红薯做午餐垫肚子加班。

mathe

如图，由`F',F_1`关于切线`OT_1`呈镜像对称知 `T_1`和焦点`F, F_1`三点共线，
并且 `FF_1=FT_1+F'T_1=2a`, `a`表椭圆半长轴。
同理`F_1F_2=F_2F=2a`, 所以`FF_1F_2`构成一个正三角形，边长正好是椭圆长轴，中心在圆心`O`。
由此得出`\D OF=\frac{2a}{\sqrt3}`

mathe

然后查看任意一个椭圆和圆的一个切点`T`，圆心`O`和两焦点`F,F'`构成的四边形。
圆与椭圆的公法线`OT`是`∠FTF'`的角平分线,`OF=OF'`, 故`O`在`△FTF'`的外接圆上，或者说`FTF'O`四点共圆。
将`△OTF`绕圆心`O`旋转使得`F`与`F'`重叠，得到一个底边长为`2a`的等腰三角形`△OTA`和`△OFF'`相似。


故`OF/OT=FF'/TA`, 即`\D\frac{2a}{\sqrt3}=\frac{2c}{2a}\to c=\frac{2a^2}{\sqrt3}` （这里利用了OT=1的条件）
这里 `2c=FF'` 为椭圆的焦距。
而这里需要注意的是对于一般情况，OA不是椭圆的切线。但是对于本题，会非常凑巧，取最值的时候，OA正好是切线

mathe

于是根据楼上信息，我们可以计算得出$OT = \frac{2a}{2c}OF = \frac{2a^2}{\sqrt{3}c}$
于是三椭圆面积之和为$3\pi ab$,圆的面积为$\pi \frac{4a^4}{3c^2}$, 两者面积之比为
$\frac{9bc^2}{4a^3}=\frac{9\sqrt{b^2\frac{c^2}2\frac{c^2}2}}{2a^3}\le \frac{9 (\frac{b^2+\frac{c^2}2+\frac{c^2}2}3)^{3/2}}{2a^3}=\frac{\sqrt{3}}2$
在$c^2=2b^2$取到最大比例$\sqrt(3)/2$， 根据OT=1，可以解得$b=1/{\sqrt{6}}, c=1/{\sqrt{3}},a=1/{\sqrt{2}}, OF=\sqrt{2/3}$
于是$\cos(/_OAT)=1/{\sqrt{2}}$,所以$/_OAT$为45度角。根据正弦定理这时$\sin(/_OF'A)=\sin(/_OAT)\frac{OA}{OF'}=\frac{\sqrt{3}}2$
所以得出这时$/_AOF'$为15度。最终可以得到这个椭圆和圆的两个切点关于圆心张角为60度，而hujunhua很早就在wanye讨论群中猜测取最大值时，
椭圆和圆的六个切点在圆周上均匀分布，我们终于可以为他验证这个结论了。

倪举鹏

张角为a的扇形纸。可以剪出最大椭圆的长短轴之比是多少

zeroieme

看题目三黄蛋我还以为是椭球内的3个最大内接球。

hujunhua

mathe 发表于 2020-11-13 18:15
如图，由`F',F_1`关于切线`OT_1`呈镜像对称知 `T_1`和焦点`F, F_1`三点共线，
并且 `FF_1=FT_1+F'T_1=2a`, ...

由4#的结果已经可以确定最大椭圆的形状。
设椭圆的短半轴为 `b`, 半焦距为`c `, 椭圆与圆的中心距为 `d`.

将`\D OF=\frac{2a}{\sqrt3}`代入 `OF^2-c^2=d^2`得\[a^2+3b^2=3d^2\to 2\sqrt3ab\le 3d^2\to ab\le\frac{\sqrt3}2d^2\]
所以对于给定的 `d`, 椭圆面积 `\D E=\pi ab\le\frac{\sqrt3}2\pi d^2`, `a=\sqrt3b` 时取得最大值。
这就确定了最大椭圆的形状，剩下只需要确定对于单位圆，这样的椭圆能有多大。

然后由5#的 `\D c=\frac{2a^2}{\sqrt3}`代 入`b^2+c^2=a^2`得\[\frac{a^2}3+\frac{4a^4}3=a^2\to a=\frac1{\sqrt2}\to b=\frac1{\sqrt6},d=\frac1{\sqrt3},E_{max}=\frac{\sqrt3}6\pi\]

hujunhua

把圆心设为坐标原点，于是单位圆方程的对称系数矩阵为\[A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\]
设底下的那个平躺椭圆的标准方程为\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y+d)^2}{b^2}=1\]于是它的对称系数矩阵为\[
B =\begin{pmatrix}b^2/a^2&0&0\\0&1&d\\0&d&d^2-b^2\end{pmatrix}
\]椭圆的线素曲线为`B'=kB^{-1}`, `k`为任意常系数，图简单我们就取`k=b^2`使\[B' =\begin{pmatrix}a^2&0&0\\0&b^2-d^2&d\\0&d&-1\end{pmatrix}\]这个椭圆与直线`x\pm\sqrt3y=0`相切，切线的线坐标为  `t=(1,\pm\sqrt3,0)`, 故有 `t.B'.t=0`,即\[
\begin{pmatrix}1&\pm\sqrt3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a^2&0&0\\0&b^2-d^2&d\\0&d&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\pm\sqrt3\\0\end{pmatrix}=0\to a^2+3b^2=3d^2
\]由此得到最大椭圆的形状和位置（见9#): `a=\sqrt3b,d=\sqrt2b`.
代入椭圆方程后得\[
B =\begin{pmatrix}1/3&0&0\\0&1&\sqrt2b\\0&\sqrt2b&b^2\end{pmatrix}
\]椭圆与圆相切于两点即特征方程 `\begin{vmatrix}\lambda A+B\end{vmatrix}=0`有重根\[
\lambda A+B =\begin{pmatrix}\lambda+1/3&0&0\\0&\lambda+1&\sqrt2b\\0&\sqrt2b&b^2-\lambda\end{pmatrix}
\]并且重根代入后使`\lambda A+B`退化为两条重合直线，即`\lambda A+B`的秩为1
故按`\lambda A+B`的0分布判断为第1个根`\lambda=-1/3`与后面的相重
将`\lambda=-1/3`代入后面即\[
\begin{vmatrix}2/3&\sqrt2b\\\sqrt2b&b^2+1/3\end{vmatrix}=0\to b=\frac1{\sqrt6}.
\]当然，我是用MMA 算的，所以算起来还是蛮快的。