三黄蛋的最大蛋黄:lol

hujunhua

@mathe

对于两个一般位置的二次曲线，假定它们的对称系数矩阵为`A, B`， 那么 `λA+B`表示通过两者的四个交点的二次曲线簇。

这个簇中包含三条退化的二次曲线。我们假定直线`P_iP_j`的方程为 `l_{ij}: a_{ij}x+b_{ij}y+c_{ij}z=0`
这3条退化的二次曲线方程即`l_{ij}\cdot l_{kl}`(共有3种组合），对应于特征方程`|λA+B|=0`的3个根`λ_1,λ_2,λ_3`。
它们的对称系数矩阵就是`k(λ_iA+B)` （k是任意常系数）。
在A与B相切的情况下：
1、`P_3`与`P_4`重合，则`l_{13}\cdot l_{24}`与`l_{14}\cdot l_{23}`表示同一条退化曲线（两条相交直线），
两者对应的对称系数矩阵相等，故对应的根`λ`相等，即特征方程有重根。
两相交直线的对称系数矩阵的秩为2，故重根代入`λ_iA+B`后秩为2.
2、`P_1`与`P_2`重合且`P_3`与`P_4`重合，则`l_{13}\cdot l_{24}`与`l_{14}\cdot l_{23}`表示同一条退化曲线（两条重合直线），
两者对应的对称系数矩阵相等，故对应的根`λ`相等，即特征方程有重根。
两重合直线的对称系数矩阵的秩为1，故重根代入`λ_iA+B`后秩为1。

两种情况，`l_{12}\cdot l_{34}`仍然对应剩下的那个非重根。

葡萄糖

400个最新世界著名数学最值问题[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社, 2008.09.
P226页

mathe

对于7#扩展问题，即将扇形张角从120度扩展为$\alpha$度的情况，记$h=\tan(\frac{\alpha}2)$, 使用hujunhua的矩阵计算方法可以得出$a^2+h^2b^2=h^2d^2$, 这一步充分体现了矩阵法的优势。
于是$OF^2=d^2+c^2=b^2+\frac{a^2}{h^2}+c^2=\frac{(1+h^2)a^2}{h^2}$,即$OF=\frac{\sqrt{1+h^2}a}h$。
然后5#的方法还是可以继续适用，也就是$OT=\frac{a}{c}OF=\frac{\sqrt{1+h^2}a^2}{hc}=1$， 或者说$c=\frac{\sqrt{1+h^2}a^2}h$, $b^2=a^2-\frac{(1+h^2)a^4}{h^2}$.
于是椭圆面积$\pi a b =\pi\sqrt{a^4(1-\frac{(1+h^2)a^2}{h^2})}$在$\frac{(1+h^2)a^2}{2h^2}=1-\frac{(1+h^2)a^2}{h^2}$时取等号。即$a^2=\frac{2h^2}{3(h^2+1)}, c^2=\frac{4h^2}{9(h^2+1)}, b^2=\frac{2h^2}{9(h^2+1)}$,很神奇，最大时的条件完全没有变化，还是$c^2=2b^2$时取到。这时椭圆面积为$\frac{2\pi h^2}{3\sqrt{3}(h^2+1)}$
而这时如果继续用9#的不等式方法，会得出$a=hb$时取到极值，显然这时双方就不匹配了，这也验证了9#方法是存在问题的。

hujunhua

试图挽救9#，没有成功。
5#的方法，4点共圆适用于椭圆与圆有两个切点时。或许椭圆与圆只有一个切点时，9#会起死回生呢？
结果仍然无效，9#确实只是一个巧合。

当 `α` 较小时，椭圆的`b/a`应该更大些，其面积才会更大。
这时椭圆与圆就可能只有一个切点，于是相切于圆的条件化为代数式： ` b+d=1`.
因此 `a^2=h^2(d^2-b^2)=h^2(1-2b)`
所以 $a^2b^2=h^2(1-2b)b^2\le\frac{h^2}{27}$, 最大值驻点为$b=1/3,d=2/3,a=h/\sqrt3,c^2=(3h^2-1)b^2$.

代入具体值，结果发现：
`α=π/2`（4个红薯）是临界角度，这时两个切点重合，圆是椭圆的密切圆，切点为4重点。
此时`h=1`, 仍然有`c^2=2b^2`.

$α=2/5pi$时脱离临界角，不再有`c^2=2b^2`。
$α=pi/3$时为另一个意义上的临界角，椭圆为圆。
$α=pi/4$时，椭圆长轴转到径向。

mathe

`\pi/3`转化为圆，所有角度小于`\pi/3`后长轴都应该到径向了?