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楼主: hujunhua

[转载] 三黄蛋的最大蛋黄:lol

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 楼主| 发表于 2020-11-14 11:46:48 | 显示全部楼层
@mathe

对于两个一般位置的二次曲线,假定它们的对称系数矩阵为`A, B`, 那么 `λA+B`表示通过两者的四个交点的二次曲线簇。
捕获.PNG
这个簇中包含三条退化的二次曲线。我们假定直线`P_iP_j`的方程为 `l_{ij}: a_{ij}x+b_{ij}y+c_{ij}z=0`
这3条退化的二次曲线方程即`l_{ij}\cdot l_{kl}`(共有3种组合),对应于特征方程`|λA+B|=0`的3个根`λ_1,λ_2,λ_3`。
它们的对称系数矩阵就是`k(λ_iA+B)` (k是任意常系数)。
在A与B相切的情况下:
1、`P_3`与`P_4`重合,则`l_{13}\cdot l_{24}`与`l_{14}\cdot l_{23}`表示同一条退化曲线(两条相交直线),
两者对应的对称系数矩阵相等,故对应的根`λ`相等,即特征方程有重根。
两相交直线的对称系数矩阵的秩为2,故重根代入`λ_iA+B`后秩为2.
2、`P_1`与`P_2`重合且`P_3`与`P_4`重合,则`l_{13}\cdot l_{24}`与`l_{14}\cdot l_{23}`表示同一条退化曲线(两条重合直线),
两者对应的对称系数矩阵相等,故对应的根`λ`相等,即特征方程有重根。
两重合直线的对称系数矩阵的秩为1,故重根代入`λ_iA+B`后秩为1。

两种情况,`l_{12}\cdot l_{34}`仍然对应剩下的那个非重根。

点评

多谢,明白了。俩曲线有两个公共切点对应特征方程有重根。  发表于 2020-11-14 12:44
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-14 17:59:27 | 显示全部楼层
400个最新世界著名数学最值问题[M]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2008.09.
P226页
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-11-14 21:20:40 | 显示全部楼层
对于7#扩展问题,即将扇形张角从120度扩展为$\alpha$度的情况,记$h=\tan(\frac{\alpha}2)$, 使用hujunhua的矩阵计算方法可以得出$a^2+h^2b^2=h^2d^2$, 这一步充分体现了矩阵法的优势。
于是$OF^2=d^2+c^2=b^2+\frac{a^2}{h^2}+c^2=\frac{(1+h^2)a^2}{h^2}$,即$OF=\frac{\sqrt{1+h^2}a}h$。
然后5#的方法还是可以继续适用,也就是$OT=\frac{a}{c}OF=\frac{\sqrt{1+h^2}a^2}{hc}=1$, 或者说$c=\frac{\sqrt{1+h^2}a^2}h$, $b^2=a^2-\frac{(1+h^2)a^4}{h^2}$.
于是椭圆面积$\pi a b =\pi\sqrt{a^4(1-\frac{(1+h^2)a^2}{h^2})}$在$\frac{(1+h^2)a^2}{2h^2}=1-\frac{(1+h^2)a^2}{h^2}$时取等号。即$a^2=\frac{2h^2}{3(h^2+1)}, c^2=\frac{4h^2}{9(h^2+1)}, b^2=\frac{2h^2}{9(h^2+1)}$,很神奇,最大时的条件完全没有变化,还是$c^2=2b^2$时取到。这时椭圆面积为$\frac{2\pi h^2}{3\sqrt{3}(h^2+1)}$
而这时如果继续用9#的不等式方法,会得出$a=hb$时取到极值,显然这时双方就不匹配了,这也验证了9#方法是存在问题的。
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 楼主| 发表于 2020-11-15 03:59:11 | 显示全部楼层
试图挽救9#,没有成功。
5#的方法,4点共圆适用于椭圆与圆有两个切点时。或许椭圆与圆只有一个切点时,9#会起死回生呢?
结果仍然无效,9#确实只是一个巧合。

当 `α` 较小时,椭圆的`b/a`应该更大些,其面积才会更大。
这时椭圆与圆就可能只有一个切点,于是相切于圆的条件化为代数式: ` b+d=1`.
因此 `a^2=h^2(d^2-b^2)=h^2(1-2b)`
所以 $a^2b^2=h^2(1-2b)b^2\le\frac{h^2}{27}$, 最大值驻点为$b=1/3,d=2/3,a=h/\sqrt3,c^2=(3h^2-1)b^2$.
无标题.png
代入具体值,结果发现:
`α=π/2`(4个红薯)是临界角度,这时两个切点重合,圆是椭圆的密切圆,切点为4重点。
此时`h=1`, 仍然有`c^2=2b^2`.

$α=2/5pi$时脱离临界角,不再有`c^2=2b^2`。
$α=pi/3$时为另一个意义上的临界角,椭圆为圆。
$α=pi/4$时,椭圆长轴转到径向。

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赞,红薯开始聚会了  发表于 2020-11-15 07:14

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发表于 2020-11-15 10:02:32 来自手机 | 显示全部楼层
`\pi/3`转化为圆,所有角度小于`\pi/3`后长轴都应该到径向了?

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sure  发表于 2020-11-15 10:22
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