求证题

northwolves

编程1: x={k+0,k+1,k+2,k+3,k+4,k+5},  x只要取遍这6个数,  4/n=1/x+1/y+1/z还有哪些n是无解?
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这个只需判断n=24k+1的情形即可

northwolves

$\frac{4}{4 n}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+1) (n+2)}+\frac{1}{n (n+1)}$
$\frac{4}{4 n+2}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2 n^2+3 n+2}+\frac{1}{(n+1) (2 n+1) \left(2 n^2+3 n+2\right)}$
$\frac{4}{4 n+3}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+1) (n+2)}+\frac{1}{(n+1) (4 n+3)}$
$\frac{4}{4 n+1}$比较复杂，需分情况讨论

王守恩

这样也可以:  真分数4/(4n+1)=1/x+1/y+1/z,   其中n,x,y,z均为正整数。
我们约定x≤y≤z, 则x的取值范围: n+1≤x≤3n, 这范围太宽了，
编程1: x={n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6},  x只要取遍这6个数,  4/(4n+1)=1/x+1/y+1/z还有哪些n是无解?
编程2: x={n+1,n+2,n+3,n+4,....,n+15},  x只要取遍这15个数,  4/(4n+1)=1/x+1/y+1/z还有哪些n是无解的?
我是这样想到的: 这6个数=连续的6个数,  这15个数=连续的15个数,先编程看看会有什么结果
效果好的，再来找通项。直接找(4n+1)，分情况讨论找通项好像走不通。

northwolves

编程1: x={n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6},  x只要取遍这6个数,  4/(4n+1)=1/x+1/y+1/z还有哪些n是无解?
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100000以内，x取遍这6个数时，n={21169,61681,67369,87481,94441,99961}无解。

{{21169,{{5300,3619899,19185464700}}},{61681,{{15428,30697254,71950618311012}}},{67369,{{16850,36618420,12334731684900}}},{87481,{{21878,61739716,5401052095396}}},{94441,{{23617,82607972,85817374320172}}},{99961,{{24998,80781037,37470780694}}}}
需要取到n+8

王守恩

好玩！我们是闹着玩的！没有欲望！前人的弯路走一走(权当旅游逛风景)。

往大的方向走，先看看“有解”“无解”问题。

我们已有: n=1, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 49, 61, 67, 73, 79, 91, 97, 103, 109, 127, 133, 139, 151,

3/n=1/A+1/B 无解，则4/n=1/n+3/n，这可以是一条路。又:

OEIS--A004194。1/n=1/x+1/y+1/z。通解公式: 1/(n-1)=1/(n+1)+1/(n(n-1))+1/(n(n+1))

OEIS--A226641。2/n=1/x+1/y+1/z。通解公式: 2/n=1/n+1/(n+1)+1/(n(n+1))               

OEIS--A226642。3/n=1/x+1/y+1/z。通解公式: 3/n=1/n+1/n+1/n

OEIS--A192787。4/n=1/x+1/y+1/z。

OEIS--A226644。5/n=1/x+1/y+1/z 应该都有解: 因为有OEIS。

OEIS--A226645。6/n=1/x+1/y+1/z 应该都有解: 因为有OEIS。               

OEIS还没有。7/n=1/x+1/y+1/z 应该部分无解: 因为没有OEIS。

OEIS还没有。8/n=1/x+1/y+1/z 部分无解。譬如: 8/17=1/ x+1/ y+1/ z 无解。

OEIS还没有。9/n=1/x+1/y+1/z 部分无解。譬如: 9/19=1/ x+1/ y+1/z 无解。

真分数 10/n=1/x+1/y+1/z 部分无解。譬如:n={11,43,61,67,181}时, 10/n=1/x+1/y+1/z 无解。

真分数 11/n=1/x+1/y+1/z 部分无解。譬如:n=37时,11/n=1/x+1/y+1/z 无解。

真分数 12,13,14,15,.../m=1/x+1/y+1/z 应该都是部分无解。

王守恩

northwolves 发表于 2023-12-1 13:19
{{1,{-1,-1}},{2,{-3,-2}},{3,{-5,-2}},{4,{-7,-3}},{5,{-9,-4}},{6,{-10,-4}},{7,{-12,-5}},{8,{-14,- ...

a,b是正整数,  满足 \(\bigg\lceil\frac{n-a/b}{\sqrt[n]{\sin(\pi/5)}}\bigg\rceil\)=n,  n=1,2,3,4,5,...,  这样的{a,b}是怎样的一些数对？
a=1, b=2--1,
a=2, b=3--3,
a=3, b=4--5,
a=4, b=5--7,
a=5, b=6--9,
a=6, b=7--11,
a=7, b=8--13,
a=8, b=9--15,
Table[{a, a + 1, -Ceiling[a/Log@Sin[\[Pi]/5]]}, {a, 30}]
{{1, 2, 1}, {2, 3, 3}, {3, 4, 5}, {4, 5, 7}, {5, 6, 9}, {6, 7, 11}, {7, 8, 13}, {8, 9, 15}, {9, 10, 16},
{10, 11, 18}, {11, 12, 20}, {12, 13, 22}, {13, 14, 24}, {14, 15, 26}, {15, 16, 28}, {16, 17, 30},
{17, 18, 31}, {18, 19, 33}, {19, 20, 35}, {20, 21, 37}, {21, 22, 39}, {22, 23, 41}, {23, 24, 43},
{24, 25, 45}, {25, 26, 47}, {26, 27, 48}, {27, 28, 50}, {28, 29, 52}, {29, 30, 54}, {30, 31, 56},