老封的平衡六边形定理

dlsh

根据图示和条件△PAC∽△EFD, △PCE∽△ABF, △PEA∽△CDB得：
\(\frac{\overrightarrow{PC}}{\overrightarrow{PA}}=\frac{\overrightarrow{ED}}{\overrightarrow{EF}},  \frac{\overrightarrow{ PE}}{\overrightarrow{PC}}=\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{AB}},      \frac{\overrightarrow{ PA}}{\overrightarrow{PE}}=\frac{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CD}}\) ,
由三个等式相乘得，\(\frac{\overrightarrow{ED}}{\overrightarrow{EF}}\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{AB}}\frac{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CD}}=1\)，
所以         \(∠A+∠C+∠E＝∠B+∠D+∠F=2π，AB·CD·EF＝BC·DE·FA\)
显然，对于凸六边形本结论可以很容易直接用相似三角形的性质直接得到，但是对于凹六边形就不直观了。四楼结论应该是主贴推论，并且对于凹六边形依然成立，但是需要用优角概念，七楼附件应该谈到。
楼主主贴没有强调构图顺相似，如果都用逆相似，则三角形P1P2P3与三角形ABC逆相似。

hujunhua

发现所谓完美六边形的一个奇妙性质：当允许缩放时，它可在平面上形成单密铺。

如图, 我们以poly1为源，分别按相似比BC/OE和CD/OA生成经缩放、旋转、平移的像poly2和poly3,
在poly2中，CF=ED·BC/OE,
在poly3中,  CF=AB·CD/OA.
∵  AB·CD·EO=BC·DE·OA，∴ poly2的CF边=poly3的CF边.
故如此迭代映射，可以在平面上形成一种密铺。
密铺路径貌似等角螺线（对数螺线），在相似比不等于 1 时，往缩小方向会收敛到一个点。

以下问题需要仔细算算画画才能回答，恕我凭空想象脑子转得没那么快：

1、收敛的影响会不会导致铺不满？铺满需要额外的条件吗？
2、有几条螺线、各条螺线的收敛点是否重合到一个中心？
3、有一个方向的相似比为1时，螺线会失去收敛点，封闭成圆，还需要满足什么条件吗？

hujunhua

第3问相对容易回答，画了一下图，确定需要两对边相对转角度数是360的约数，才能保证简单封闭。
否则，如果是一个非约数的有理数，需要多圈重叠才会封闭，无理数则重叠无穷多圈去了。
如此一来，其它方向的螺线也将是无穷多条了。

类比可知，一般情况下，螺线密铺转过来也会有重叠。那么螺线密铺带无重叠需要什么条件呢？

hujunhua

12#第2问

显然，每一个六边形是三条螺线的交汇，记这个六边形为ABCDEF，它的 6 个顶点在复平面上对应的复数就以顶点符号标记。
计算表明，经过六边形ABCDEF的 3 条螺线都收敛于同一个中心\[
\frac{AD-BE}{A+D-B-E}=\frac{BE-CF}{B+E-C-F}=\frac{CF-AD}{C+F-A-D}
\]暂且将它称为六边形ABCDEF的收敛中心。
若将收敛中心设为原点，则有`AD=BE=CF`.

推论：同一条螺线上的两个六边形由于有一条共同的螺线，所以有共同的收敛中心。
推论：由于所有的螺线交织成网，所以它们都收敛于同一个中心。
推论：收敛中心在原点时，密铺的每一个六边形`A_iB_iC_iD_iE_iF_i`都成立`A_iD_i=B_iE_i=C_iF_i`

hujunhua

楼上的收敛中心公式表明，4个顶点就能确定收敛中心，这表明凸四边形是可以通过缩放单密铺的。
这带来了问题的简化。我们可以从研究完美六边形退而研究四边形。
四边形的缩放密铺图案中，经过每个四边形有两条螺线，两螺线有共同的收敛中心。
所有的螺线织成经纬网，故都有共同的收敛中心。
关于密铺的无重叠条件，可以从四边形的研究中得到结论。

dlsh

四楼的长度比和方向商不分离计算结果更简单。