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楼主: 陈九章

[转载] 老封的平衡六边形定理

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发表于 2021-1-4 21:09:27 | 显示全部楼层
根据图示和条件△PAC∽△EFD, △PCE∽△ABF, △PEA∽△CDB得:
\(\frac{\overrightarrow{PC}}{\overrightarrow{PA}}=\frac{\overrightarrow{ED}}{\overrightarrow{EF}},  \frac{\overrightarrow{ PE}}{\overrightarrow{PC}}=\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{AB}},      \frac{\overrightarrow{ PA}}{\overrightarrow{PE}}=\frac{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CD}}\) ,
由三个等式相乘得,\(\frac{\overrightarrow{ED}}{\overrightarrow{EF}}\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{AB}}\frac{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CD}}=1\),
所以         \(∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F=2π,AB·CD·EF=BC·DE·FA\)
显然,对于凸六边形本结论可以很容易直接用相似三角形的性质直接得到,但是对于凹六边形就不直观了。四楼结论应该是主贴推论,并且对于凹六边形依然成立,但是需要用优角概念,七楼附件应该谈到。
楼主主贴没有强调构图顺相似,如果都用逆相似,则三角形P1P2P3与三角形ABC逆相似。

P在外面

P在外面
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-5 15:15:02 | 显示全部楼层

可缩放的单密铺六边形

发现所谓完美六边形的一个奇妙性质:当允许缩放时,它可在平面上形成单密铺。
可缩放密铺六边形.PNG
如图, 我们以poly1为源,分别按相似比BC/OE和CD/OA生成经缩放、旋转、平移的像poly2和poly3,
在poly2中,CF=ED·BC/OE,
在poly3中,  CF=AB·CD/OA.
∵  AB·CD·EO=BC·DE·OA,∴ poly2的CF边=poly3的CF边.
故如此迭代映射,可以在平面上形成一种密铺。
密铺路径貌似等角螺线(对数螺线),在相似比不等于 1 时,往缩小方向会收敛到一个点。

以下问题需要仔细算算画画才能回答,恕我凭空想象脑子转得没那么快:

1、收敛的影响会不会导致铺不满?铺满需要额外的条件吗?
2、有几条螺线、各条螺线的收敛点是否重合到一个中心?
3、有一个方向的相似比为1时,螺线会失去收敛点,封闭成圆,还需要满足什么条件吗?
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发表于 2021-1-5 17:02:13 | 显示全部楼层
第3问相对容易回答,画了一下图,确定需要两对边相对转角度数是360的约数,才能保证简单封闭。
否则,如果是一个非约数的有理数,需要多圈重叠才会封闭,无理数则重叠无穷多圈去了。
如此一来,其它方向的螺线也将是无穷多条了。

类比可知,一般情况下,螺线密铺转过来也会有重叠。那么螺线密铺带无重叠需要什么条件呢?
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发表于 2021-1-6 11:27:00 | 显示全部楼层

所有的螺线收敛于同一个中心

12#第2问

显然,每一个六边形是三条螺线的交汇,记这个六边形为ABCDEF,它的 6 个顶点在复平面上对应的复数就以顶点符号标记。
计算表明,经过六边形ABCDEF的 3 条螺线都收敛于同一个中心\[
\frac{AD-BE}{A+D-B-E}=\frac{BE-CF}{B+E-C-F}=\frac{CF-AD}{C+F-A-D}
\]暂且将它称为六边形ABCDEF的收敛中心。
若将收敛中心设为原点,则有`AD=BE=CF`.

推论:同一条螺线上的两个六边形由于有一条共同的螺线,所以有共同的收敛中心。
推论:由于所有的螺线交织成网,所以它们都收敛于同一个中心。
推论:收敛中心在原点时,密铺的每一个六边形`A_iB_iC_iD_iE_iF_i`都成立`A_iD_i=B_iE_i=C_iF_i`

点评

谢谢hujunhua、dlsh两位老师对完美六边形进行的精彩研究!辛苦了!  发表于 2021-1-6 12:53
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发表于 2021-1-6 15:22:27 | 显示全部楼层
楼上的收敛中心公式表明,4个顶点就能确定收敛中心,这表明凸四边形是可以通过缩放单密铺的。
这带来了问题的简化。我们可以从研究完美六边形退而研究四边形。
四边形的缩放密铺图案中,经过每个四边形有两条螺线,两螺线有共同的收敛中心。
所有的螺线织成经纬网,故都有共同的收敛中心。
关于密铺的无重叠条件,可以从四边形的研究中得到结论。
两条螺线.PNG
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发表于 2021-1-8 21:19:32 | 显示全部楼层
四楼的长度比和方向商不分离计算结果更简单。
胡俊华的平衡六边形1.gif
胡俊华的平衡六边形2.gif

点评

Q和P重合需要满足一个三次方程  发表于 2021-1-8 21:20
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