用半角公式平分一个已知角

dlsh

根据半角公式，可以画出，原来画过，现在忘了，哪位试试。

dlsh

如图所示

uk702

这么复杂啊，我们以前的做法，第一步相同，以 O 为圆心作圆，两交点为 A、B，然后分别以 A、B为圆心任意长度（这个任意长度要求大于 AB 的距离）作圆弧，这两个圆弧的交点为D，则 OD 平分角 AOB。

不过这和“正弦半角公式”好像没有关系，可能完全不沾边，并非楼主要求的答案。

dlsh

上楼的作图方法是初中刚学几何时候课本的经典方法，理论基础是公理体系。现在可以用向量商证明。
按照作图顺序，设O在原点，B在实轴，\( 且b=1,a=u，\frac{\overrightarrow{PA}}{\overrightarrow{PB}}=v,其中v是方向商，\)
容易求出，\(p=\frac{1-uv}{1-v}，\bar{p}=\frac{1-uv}{u(1-v)}\),显然\(\frac{p}{\bar{p}}=u=\frac{a}{b}\)，结论得证。

gxqcn

向量的乘法有点乘和叉乘，结果分别对应于标量和向量，
除法作为乘法的逆，请问楼主，你的“向量商”是个标量还是向量？计算法则？

dlsh

AB=CD，E和F分别是AD和BC的中点，EF与AB和CD相交。求证：∠G=∠H。
证明一  点乘方法
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EA},\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED}\),因为E和F分别是AD和BC的中点，所以\(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}=0,\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}=0,\overrightarrow{FE}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}}{2}\)
\(cos\angle{AGE}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{FE}}{BAEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})}{2BAEF}=\frac{AB^2+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}}{2BAEF}，cos\angle{H}=\frac{\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{FE}}{EFCD}=\frac{\overrightarrow{CD}\cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})}{2CDEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}+CD^2}{2CDEF}\)，因为AB=CD，所以\(\angle{AGE}=\angle{H}\)
证明二  叉乘方法
\(sin\angle{AGE}=\frac{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{FE}}{BAEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\times (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})}{2BAEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{CD}}{2BAEF}，sin\angle{H}=\frac{\overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{CD}}{EFCD}=\frac{(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})\times\overrightarrow{CD}}{2CDEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{CD}}{2CDEF}\)，因为AB=CD，所以\(\angle{AGE}=\angle{H}\)
证明三  向量商证明方法
\(因为BA=CD，所以假设\frac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{BA}}=v,其中v是方向商，可得\frac{\overrightarrow{FE}}{\overrightarrow{BA}}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}}{2\overrightarrow{BA}}=\frac{1+v}{2},\frac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{FE}}=\frac{2\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}}=\frac{2v}{1+v},因为\frac{\frac{\overrightarrow{FE}}{\overrightarrow{BA}}}{\frac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{FE}}}=\frac{(1+v)(1+\bar{v})}{4}=实数，所以\angle{AGE}=\angle{H}\)
今天时间已晚，明天继续

dlsh

gxqcn 发表于 2021-1-12 10:07
向量的乘法有点乘和叉乘，结果分别对应于标量和向量，
除法作为乘法的逆，请问楼主，你的“向量商”是个标 ...

假设向量\(\overrightarrow{OA}\)到\(\overrightarrow{OB}的角等于\alpha\)，\(\overrightarrow{OA}和\overrightarrow{OB}的长度等于OA和OB\)，\(定义\frac{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OA}}=\frac{OB}{OA}e^{i\alpha},令\frac{OB}{OA}=\lambda,e^{i\alpha}=v,并称\lambda和v分别是\overrightarrow{OA}\)到\(\overrightarrow{OB}的长度商和向量商，所以\frac{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OA}}=\lambda v，显然向量商是标量，没有乘法运算。\)高中解析几何中在一条直线上的有向线段比本质上是向量商，但是主流并不认可。

gxqcn

你这个“向量”局限于二维，所谓的“向量商”无法推广到更高维，意义不大

gxqcn

我并不想去深究你的新概念，但既然你用到了“向量”，
请举一个立体空间的例子，而不要再局限于平面几何，
否则，再巧妙，也不免落于可用复数替代的宿命，无需引入所谓的“向量商”。

说到底，楼主只是将“复数”的计算法则强套于“向量”，只是换了个包装而已，
但却很牵强，并破坏了后者自洽性。

creasson

我能理解dlsh的向量商概念，因为这与我的相似。
论述有点让人难理解，但其实换个表述：平面上的向量$b$可由另一个向量$a$经一个复变换z而得到，即$ \vec b   = z \vec a  $，这就简明了。
相当多的人会对此有疑问：如果将向量$a$,$b$换成复数表示，不就是平面的复数方法嘛，这么处理是否多此一举？
对于某些简单问题，的确是这样的，但另外一些问题，需要切换几何视角的，用此就会方便得多。
但这是远远不够的，对于长度，平分角，二次曲线等等其它问题，它还需要加上有理参数变换，才能较好地处理，在我的一些回帖中，已经使用了这样的方法。
目前正在写《平面几何的复向量与有理参数代换方法》一书，将展示几乎所有的平面几何问题，均可较简便地计算证明。

目前我所见到的，有两个问题，是觉得复向量不如综合法简便：
一是阿氏圆最值问题，一是萧振纲的几何题

唐传发先生的解决方法真是让人叹为观止，相比之下我的证明就太繁琐了，以致计算几乎无法运行。
当然另一个圆的外切四边形难题，也许用综合法可以给出一个不太繁琐的证明。
另外，对于坛主所说的空间中的向量商问题，的确是难以做推广的，以前我也曾用三元数，并试图进行改造，有部分问题是可以处理，但另外的多数，还不如用重心坐标、三维向量、或矩阵来得方便。
其主要的困难在于旋转——难以对两个不同的旋转进行复合并且保持其形式的不变性。
目前平面几何的研究，综合法也好，其他方法也好，大约是囿于可有理表示（即亏格为0）的几何对象。超出这方面的，仅有一些点在曲线上或点共线的零星结论。
二次曲面是亏格为0的，这方面的结论甚少，我想以后的传统几何研究，这方面还可以探索下。