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[原创] 用半角公式平分一个已知角

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发表于 2021-1-8 22:20:50 | 显示全部楼层 |阅读模式

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根据半角公式,可以画出,原来画过,现在忘了,哪位试试。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-10 21:00:47 | 显示全部楼层
如图所示
正弦半角公式作图.png
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发表于 2021-1-10 21:14:34 | 显示全部楼层
这么复杂啊,我们以前的做法,第一步相同,以 O 为圆心作圆,两交点为 A、B,然后分别以 A、B为圆心任意长度(这个任意长度要求大于 AB 的距离)作圆弧,这两个圆弧的交点为D,则 OD 平分角 AOB。

不过这和“正弦半角公式”好像没有关系,可能完全不沾边,并非楼主要求的答案。

点评

这种方法是按照正弦公式推导出来的,比较繁琐,大概也可以说明三等分角不可能。如果一条三角公式变形成证明题,估计比较困难,本题说明这点。  发表于 2021-1-11 21:05
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 楼主| 发表于 2021-1-11 20:57:43 | 显示全部楼层
上楼的作图方法是初中刚学几何时候课本的经典方法,理论基础是公理体系。现在可以用向量商证明。
按照作图顺序,设O在原点,B在实轴,\( 且b=1,a=u,\frac{\overrightarrow{PA}}{\overrightarrow{PB}}=v,其中v是方向商,\)
容易求出,\(p=\frac{1-uv}{1-v},\bar{p}=\frac{1-uv}{u(1-v)}\),显然\(\frac{p}{\bar{p}}=u=\frac{a}{b}\),结论得证。

平分角

平分角
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发表于 2021-1-12 10:07:35 | 显示全部楼层
向量的乘法有点乘和叉乘,结果分别对应于标量和向量,
除法作为乘法的逆,请问楼主,你的“向量商”是个标量还是向量?计算法则?

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 楼主| 发表于 2021-1-14 23:02:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlsh 于 2021-1-14 23:04 编辑

AB=CD,E和F分别是AD和BC的中点,EF与AB和CD相交。求证:∠G=∠H。
证明一  点乘方法
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EA},\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED}\),因为E和F分别是AD和BC的中点,所以\(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}=0,\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}=0,\overrightarrow{FE}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}}{2}\)
\(cos\angle{AGE}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{FE}}{BAEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})}{2BAEF}=\frac{AB^2+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}}{2BAEF},cos\angle{H}=\frac{\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{FE}}{EFCD}=\frac{\overrightarrow{CD}\cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})}{2CDEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}+CD^2}{2CDEF}\),因为AB=CD,所以\(\angle{AGE}=\angle{H}\)
证明二  叉乘方法
\(sin\angle{AGE}=\frac{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{FE}}{BAEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\times (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})}{2BAEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{CD}}{2BAEF},sin\angle{H}=\frac{\overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{CD}}{EFCD}=\frac{(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})\times\overrightarrow{CD}}{2CDEF}=\frac{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{CD}}{2CDEF}\),因为AB=CD,所以\(\angle{AGE}=\angle{H}\)
证明三  向量商证明方法
\(因为BA=CD,所以假设\frac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{BA}}=v,其中v是方向商,可得\frac{\overrightarrow{FE}}{\overrightarrow{BA}}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}}{2\overrightarrow{BA}}=\frac{1+v}{2},\frac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{FE}}=\frac{2\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}}=\frac{2v}{1+v},因为\frac{\frac{\overrightarrow{FE}}{\overrightarrow{BA}}}{\frac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{FE}}}=\frac{(1+v)(1+\bar{v})}{4}=实数,所以\angle{AGE}=\angle{H}\)
今天时间已晚,明天继续

初中经典几何题

初中经典几何题

第二种形式

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 楼主| 发表于 2021-1-15 21:41:58 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2021-1-12 10:07
向量的乘法有点乘和叉乘,结果分别对应于标量和向量,
除法作为乘法的逆,请问楼主,你的“向量商”是个标 ...

假设向量\(\overrightarrow{OA}\)到\(\overrightarrow{OB}的角等于\alpha\),\(\overrightarrow{OA}和\overrightarrow{OB}的长度等于OA和OB\),\(定义\frac{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OA}}=\frac{OB}{OA}e^{i\alpha},令\frac{OB}{OA}=\lambda,e^{i\alpha}=v,并称\lambda和v分别是\overrightarrow{OA}\)到\(\overrightarrow{OB}的长度商和向量商,所以\frac{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OA}}=\lambda v,显然向量商是标量,没有乘法运算。\)高中解析几何中在一条直线上的有向线段比本质上是向量商,但是主流并不认可。
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发表于 2021-1-16 09:48:29 | 显示全部楼层
你这个“向量”局限于二维,所谓的“向量商”无法推广到更高维,意义不大

点评

就六楼的问题似乎可以推广到空间,其实单纯用向量很难或者不可能证明很多难题,但是用向量商可以很好解释一些线性命题相关的复数结论。  发表于 2021-1-17 21:45
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发表于 2021-1-18 07:46:12 | 显示全部楼层
我并不想去深究你的新概念,但既然你用到了“向量”,
请举一个立体空间的例子,而不要再局限于平面几何,
否则,再巧妙,也不免落于可用复数替代的宿命,无需引入所谓的“向量商”。

说到底,楼主只是将“复数”的计算法则强套于“向量”,只是换了个包装而已,
但却很牵强,并破坏了后者自洽性。
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发表于 2021-1-18 10:44:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 creasson 于 2021-1-18 11:19 编辑

我能理解dlsh的向量商概念,因为这与我的相似。
论述有点让人难理解,但其实换个表述:平面上的向量$b$可由另一个向量$a$经一个复变换z而得到,即$ \vec b   = z \vec a  $,这就简明了。
相当多的人会对此有疑问:如果将向量$a$,$b$换成复数表示,不就是平面的复数方法嘛,这么处理是否多此一举?
对于某些简单问题,的确是这样的,但另外一些问题,需要切换几何视角的,用此就会方便得多。
但这是远远不够的,对于长度,平分角,二次曲线等等其它问题,它还需要加上有理参数变换,才能较好地处理,在我的一些回帖中,已经使用了这样的方法。
目前正在写《平面几何的复向量与有理参数代换方法》一书,将展示几乎所有的平面几何问题,均可较简便地计算证明。
B.png
目前我所见到的,有两个问题,是觉得复向量不如综合法简便:
一是阿氏圆最值问题,一是萧振纲的几何题
X1.jpg X2.jpg X3.jpg
唐传发先生的解决方法真是让人叹为观止,相比之下我的证明就太繁琐了,以致计算几乎无法运行。
当然另一个圆的外切四边形难题,也许用综合法可以给出一个不太繁琐的证明。
另外,对于坛主所说的空间中的向量商问题,的确是难以做推广的,以前我也曾用三元数,并试图进行改造,有部分问题是可以处理,但另外的多数,还不如用重心坐标、三维向量、或矩阵来得方便。
其主要的困难在于旋转——难以对两个不同的旋转进行复合并且保持其形式的不变性。
目前平面几何的研究,综合法也好,其他方法也好,大约是囿于可有理表示(即亏格为0)的几何对象。超出这方面的,仅有一些点在曲线上或点共线的零星结论。
二次曲面是亏格为0的,这方面的结论甚少,我想以后的传统几何研究,这方面还可以探索下。
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