用半角公式平分一个已知角

dlsh

第六楼的证明适用于下图，一平面内有一线段AB，平面外有另外一线段CD，并且AB=CD，E和F分别是AD和BC的中点。求证：AB和CD与EF的异面角相等。

这道题的确很难做，因为P和Q很可能不在直线上，一般情况，线性命题比较容易，非线性很难。复向量这一说法是否合理？
老师的书什么时候完成？自费出版吗？如果有配套软件就好了。

dlsh

本题如果向量商不分离长度商和方向商似乎难做。

kastin

creasson 发表于 2021-1-18 10:44
我能理解dlsh的向量商概念，因为这与我的相似。
论述有点让人难理解，但其实换个表述：平面上的向量$b$可 ...

复数本身可视为向量，上述有关向量的所有运算都可以用复数来代替。平面几何问题中，用复数没什么不可，因为向量与复数的区别就在于基矢量。而复数是以1和虚数单位i为基矢量，向量却没有固定的基矢量。如果允许复数本身当做基矢量，但是只要引入了旋转变换，实际上就默认了基矢量已经选定。

因此，只要用到向量商的相关向量，都可以用复数表示，而其他没有用到的则不一定能用复数来表示。

kastin

@creasson，在平面向量中，复数与向量几乎没区别。上面定义的向量商，无非就是把向量的各个坐标（实际上就是基矢量前面的系数）进行了一个旋转变换，相当于乘以一个旋转矩阵。而这个运算过程本质上用复数乘法表示而已。所以这个概念并没有什么创新之处，新瓶装旧酒，而且还是混合起来的东西，没啥意义。比如，都用复数，那么复数乘法就有旋转和伸缩的意义，但是一个向量乘以复数还等于一个向量，这个就是胡来。不能强行凑数值，而不管内在的自洽性。不然会在一些特殊问题上产生不可解决的矛盾。比如涉及到线性空间某些运算规律的时候。你不能把这个作为一个例外，单独使用，否则单独的运算引入单独的概念，并且单独使用，这么大费周章，还不如就用复数或者矩阵乘法。

此外，到了三维空间，这就没啥用了，但是矩阵乘法仍然可以使用，四元数仍然可以使用，都能表示空间中的旋转，向量商就显得多余了。根据奥卡姆剃刀原理，这个向量商的概念纯粹没必要。

dlsh

kastin 发表于 2021-5-31 14:56
@creasson，在平面向量中，复数与向量几乎没区别。上面定义的向量商，无非就是把向量的各个坐标（实际上就 ...

    1  在平面向量中，复数与向量几乎没区别。
     有本质区别，向量是几何量，有单位，复数是一个数，没有单位。
    2 但是一个向量乘以复数还等于一个向量，这个就是胡来。
     完全正确，几何意义表示以该向量旋转和收缩，对于平面，向量复数乘积没有意义，注意不同于点积和叉积，向量商有几何意义，这就是平面与复数平面的区别，在空间，无法区别顺和逆时针，复数应用受限。

经典教材已经出现向量商的概念，但是仅限于一条直线上的向量，当然，向量商主流不承认，https://bbs.emath.ac.cn/thread-17689-1-1.html

dlsh

如果复数是矢量，那么它的单位是什么？对于上面的图形，假设DE是中位线，\(显然\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AB}}=\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AC}}=\frac{1}{2},可以变换为\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}(\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB}}),用复数解释显然牵强附会\)