数字魔方

aimisiyou

如下例图，一个九宫格一开始每格中有1~9的一个数字，点击其中任意一格，该格及其邻格（有公共边者）的数字小于9的都加1，等于9的变成1.
游戏的目标是通过点击使得9格数字变得相同。
问题：1、初始值满足何种关系才能有解？
          2、对于已知初始值，是否存在有多解的情况？

小铃铛

先玩一下，你这题9个3是个解。

aimisiyou

小铃铛 发表于 2021-1-11 19:14
先玩一下，你这题9个3是个解。

有什么简便解法吗？像玩魔方有套路一样。

aimisiyou

能找出解题规律么？

小铃铛

解题上还是有点技巧的：

hujunhua

两个问题实为一个问题（问题1蕴含问题2），因为初始值和目标值只是简单相减而已。

结论是任意可解，可任意解。

在数学上解没有难度。要求点击次数最少才会产生难度。

.·.·.

题目有解且解(mod 9)唯一

1. Solve[a1 + a2 + a3 + a5 == 28 q && a2 + a3 + a6 == 28 w && a3 + a6 + a9 + a5 == 28 e && a6 + a9 + a8 == 28 r && a9 + a8 + a7 + a5 == 28 t && a8 + a7 + a4 == 28 y && a7 + a4 + a1 + a5 == 28 u && a4 + a1 + a2 == 28 i && a4 + a5 + a6 + a2 + a8 == 28 o, {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9}]

复制代码

解得

1. {{a1 -> -4 (3 e + i + 2 o - 4 q - 6 r + 3 t - 4 u + w + y),
   
2.   a2 -> -4 (2 e - 4 i - o + 2 q + 3 r - 5 t + 2 u - 4 w + 3 y),
   
3.   a3 -> 4 (4 e - i - 2 o + 4 q - r - 3 t - 3 u - w + 6 y),
   
4.   a4 -> 4 (5 e + 4 i + o - 2 q - 3 r - 2 t - 2 u - 3 w + 4 y),
   
5.   a5 -> 4 (e - 2 i + 3 o + q - 2 r + t + u - 2 w - 2 y),
   
6.   a6 -> -4 (2 e + 3 i - o + 2 q - 4 r + 2 t - 5 u - 4 w + 3 y),
   
7.   a7 -> -4 (3 e + i + 2 o + 3 q + r - 4 t - 4 u - 6 w + y),
   
8.   a8 -> -4 (2 e + 3 i - o - 5 q - 4 r + 2 t + 2 u + 3 w - 4 y),
   
9.   a9 -> 4 (4 e + 6 i - 2 o - 3 q - r + 4 t - 3 u - w - y)}}

复制代码

这里用28q是因为28q跟q除以9的余数相同，这样算完我们得到的解正好是原问题的解（如果不如此计算，大概会得到一个形如(...)/7的解，还要用mod9继续处理一次，不方便）

解的意思是，初始面板
0  0  0
0  0  0
0  0  0
点击
a7 a8 a9
a4 a5 a6
a1 a2 a3
次可以得到
y  t  r
u  o  e
i  q  w

（也就是，题目最终解不唯一，我们可以从全0面板出发点击得到任何面板（比如全1））
公式过于复杂……懒得推算如何化简了，或许应该尝试着在第一步将o和 边和-2*角和 通过某种变换都改成0，然后可以非常轻松地使用公式 (距离为0+距离为2+距离为3)-2*(距离为1+距离为4)进行计算

距离的意思是，*位置到自己的距离为0，到其他位置的距离如下图所示：
* 1 2
1 - 3
2 3 4


题目并不难，如果出了BUG大概是正负号的锅。
就玩到这里好了。

小铃铛

作为一个游戏，通常都会避免出现无解或多解的情况，这个游戏，终盘数字没有唯一性，1~9都可以是终盘数字。

aimisiyou

.·.·. 发表于 2021-1-12 08:28
题目有解且解(mod 9)唯一

e,i,o,q,r,t,u,w,y怎么确定呢？代入版面初始数值怎么计算？

.·.·.

aimisiyou 发表于 2021-1-12 09:21
e,i,o,q,r,t,u,w,y怎么确定呢？代入版面初始数值怎么计算？

初始面板的值是
y t r
u o e
i q w

面板编号是
789
456
123