用三角不等式作为几何基础

manthanein

命题1：给定点\(P\)和射线\(OA\)，\(P\)不在直线\(OA\)上，对于任意给定的长度\(l\)，在射线\(OA\)上存在一点\(Q\)使得\(PQ \gt l\)。

证明：记\(x=l+PO\)。在射线\(OA\)上取\(Q\)使得\(OQ=x\)。
由三角不等式：\(PQ+PO \gt OQ\)，即\(PO+PQ \gt l+PO\)，因而\(PQ \gt l\)。

manthanein

命题2：给定点\(P\)和射线\(OA\)，\(P\)不在直线\(OA\)上，对于任意给定的长度\(l_1\)，总存在长度\(l_2\)，使得只要点\(Q\)满足\(AQ \lt l_2\)就有\(\abs{PA-PQ}\lt l_1\)。

证明：取\(\D l_2=\frac{l_1}{2}\)，由三角不等式，只要点\(Q\)满足\(AQ \lt l_2\)，就有\(\abs{PA-PQ}\leq AQ \lt l_2 \lt l_1\)。

manthanein

命题3：给定点\(P\)和射线\(OA\)，\(P\)不在直线\(OA\)上，对于任意大于\(PO\)的长度\(l\)，射线\(OA\)上一定存在点\(Q\)使得\(PQ=l\)。

证明：记\(OQ=x\)，显然\(x\in [0,+\infty)\)且与\(Q\)一一对应。由于每一个\(Q\)都对应着一个\(PQ\)，因此记\(PQ=f(x)\)。
先证明\(f(x)\)连续。先证明，对于任意\(t\in (0,+\infty)\)，\(\D \lim_{x \to t}f(x)=f(t)\)。也就是说，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)，总存在正数\(\delta\)，使得只要\(\abs{x-t} \lt \delta\)，就有\(\abs{f(x)-f(t)}\lt \varepsilon\)。由命题2，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上连续。同理\(\D \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=0\)。
所以由介值定理和命题1，可知命题3成立。

推论：若一点\(P\)与一给定圆圆心的距离小于给定圆半径，那么以\(P\)为端点的射线必定与给定圆相交。

manthanein

命题4：给定点\(P\)和直线\(l\)，\(P\)不在直线\(l\)上，在\(l\)上任取一点\(O\)，在\(O\)两端分别取\(A\)和\(B\)，使得\(AO=OB=2PO\)。如果点\(Q\)使得\(PQ\)是连接点\(P\)与\(l\)上某一点的线段中长度最短的，那么\(Q\)属于线段\(AB\)。

证明：在\(l\)上任取一点\(O\)，在\(O\)两端分别取\(A\)和\(B\)，使得\(AO=OB=2PO\)。若点\(R\)使得\(OR\gt 2PO\)，那么由三角不等式，\(PO+PR \gt OR \gt 2PO\)，即\(PR \gt PO\)，因而如果点\(Q\)使得\(PQ\)是连接点\(P\)与\(l\)上某一点的线段中长度最短的，那么\(Q\)属于线段\(AB\)。

manthanein

命题5：给定点\(P\)和直线\(l\)，\(P\)不在直线\(l\)上，在\(l\)上一定存在点\(Q\)使得\(PQ\)是连接点\(P\)与\(l\)上某一点的线段中长度最短的。

证明；根据命题4，点\(Q\)如果存在，必然在一条线段\(AB\)上。将\(l\)视为数轴，\(A\)对应实数\(a\)，\(B\)对应实数\(b\)，线段\(AB\)上一点到点\(Q\)的距离为函数\(f(x)\)，\(x \in [a,b]\)。
由命题2，\(f(x)\)连续。所以\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最小值。

manthanein

命题6：一个圆上有无数个点。

证明：给定圆心\(O\)和半径\(r\)。任取另外一点\(A\)，构造直线\(OA\)。在\(OA\)外任取一点\(B\)，构造直线\(AB\)。显然\(O\)不在\(AB\)上。
对于直线\(AB\)上任意一点\(P\)，射线\(OP\)上都一定有一点使得到圆心的距离为\(r\)。
由于直线\(AB\)上有无数个点，所以圆上也有无数个点。

推论：存在等腰三角形。

manthanein

命题7：给定点\(P\)、\(Q\)、\(O\)和长度\(r\)，若\(OP \lt r\)且\(OQ \gt r\)，那么线段\(PQ\)上一定存在一点\(A\)使得\(OA=r\)。

证明：将直线\(PQ\)视为数轴，\(P\)对应\(p\)，\(Q\)对应\(q\)，以\(f(x)\)表示\(O\)到对应\(x\)的点的距离。
根据命题2，\(f(x)\)在\([p,q]\)上连续。
所以由介值定理，命题成立。

manthanein

定义：给定\(O\)、\(A\)、\(B\)三点，\(OA=OB=r\)，对于线段\(AB\)上任何一个点\(P\)，构造射线\(OP\)并在射线\(OP\)上取一点\(Q\)使得\(OQ=r\)，如此形成线段\(AB\)与点\(Q\)轨迹的一一对应，这个对应法则\(f\)叫做圆弧映射。将直线\(AB\)视为数轴，\(A\)对应数字\(a\)，\(B\)对应数字\(b\)（\(a \lt b\)），对于对应数字\(x\)的点\(X\)对应的点\(Y\)，记作\(f(x)=Y\)。显然\(f(a)=A\)，\(f(b)=B\)。

manthanein

命题8：给定\(O\)、\(A\)、\(B\)三点，\(OA=OB\)，在射线\(OB\)上任取一点\(P\)，一定有\(AB \leq 2AP\)。

证明：若\(P\)与\(O\)重合，由三角不等式，\(AB \leq OA+OB=2OA=2AP\)。
若\(P\)与\(B\)重合，那么\(AB=AP \leq 2AP\)。
其他情况下，由三角不等式，\(AB \leq AP+PB\)，\(AP+OP \geq OA=OB\)，\(OA+AP \geq OP\)。
若\(P\)在线段\(OB\)上，那么\(AP+OP \geq OB=OP+PB\)，所以\(AP \geq PB\)，所以\(AB \leq AP+PB \leq 2AP\)。
若\(P\)不在线段\(OB\)上，那么\(OB+PB=OP\)，所以\(OA+AP \geq OB+PB\)，所以\(AP \geq PB\)，所以\(AB \leq AP+PB \leq 2AP\)。

manthanein

命题9：圆弧映射\(f\)在\(x=a\)处右连续。

证明：也就是要证明\(\D \lim_{x \to a^{-}}f(x)=f(a)\)。记\(x\)对应的点为\(X\)，\(f(x)=Y\)。也就是说，对于任意给定的长度\(\varepsilon\)，总存在正数\(\delta\)，使得只要\(a \lt x \lt a+\delta\)，就有\(AY \lt \varepsilon\)。
由题设，\(OA=OY=r\)，\(X\)在射线\(OY\)上，根据命题8，\(AY\leq 2AX\)，也就是\(AY\leq2(x-a)\)。
所以，取\(\D \delta=\frac{\varepsilon}{2}\)，此时\(\D 0 \lt x-a \lt \frac{\varepsilon}{2}\)，所以\(AY \lt \varepsilon\)。