用三角不等式作为几何基础

manthanein

命题9：圆弧映射\(f\)在\(x=b\)处右连续。

证明：也就是要证明\(\D \lim_{x \to b^{+}}f(x)=f(b)\)。记\(x\)对应的点为\(X\)，\(f(x)=Y\)。也就是说，对于任意给定的长度\(\varepsilon\)，总存在正数\(\delta\)，使得只要\(0 \lt b-x \lt\delta\)，就有\(BY \lt \varepsilon\)。
由题设，\(OB=OY=r\)，\(X\)在射线\(OY\)上，根据命题8，\(BY\leq 2BX\)，也就是\(AY\leq2(b-x)\)。
所以，取\(\D \delta=\frac{\varepsilon}{2}\)，此时\(\D 0 \lt b-x \lt \frac{\varepsilon}{2}\)，所以\(AY \lt \varepsilon\)。